北师版八年级下册数学总复习 类比探究专题训练Word文档格式.docx

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（3）问题拓展：

如图3，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°

，CB=CD，∠BCD=140°

，以C为顶点作一个70°

角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．

【直角结构】

1.数学课上，张老师出示了问题：

如图1，四边形ABCD是正方形，∠DAB=

∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°

，AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC，点E是边BC的中点，∠AEF=90°

，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：

AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：

取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：

如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？

如果正确，写出证明过程；

如果不正确，请说明理由．

（2）小华提出：

如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？

2.提出问题：

如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，求证：

PB=PE．

分析问题：

学生甲：

如图1，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N．通过证明两三角形全等，进而证明两条线段相等．

学生乙：

连接DP，如图2，很容易证明PD=PB，然后再通过“等角对等边”证明PE=PD，就可以证明PB=PE了．

解决问题：

请你选择上述一种方法给予证明．

问题延伸：

如图3，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，PB=PE还成立吗？

若成立，请证明；

若不成立，请说明理由．

【旋转结构】

1.发现：

如图1，点B是线段AD上的一点，分别以AB，BD为边向外作等边三角形ABC和等边三角形BDE，连接AE，CD，相交于点O．

①线段AE与CD的数量关系为_________；

∠AOC的度数为___________．

②△CBD可看作△ABE经过怎样的变换得到的？

________________．

（2）应用：

如图2，若点A，B，D不在一条直线上，

（1）中的结论①还成立吗？

请说明理由；

（3）拓展：

在四边形ABCD中，AB=AC，∠BAC=90°

，∠ADC=45°

，若AD=8，CD=6，请直接写出B，D两点之间的距离．

2.已知：

△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°

，探究并解决下列问题：

（1）如图1，若点P在线段AB上，且AC=1+

，PA=

，则：

①线段PB=_________，PC=_________；

②猜想：

PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为__________；

（2）如图2，若点P在AB的延长线上，在

（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程；

（3）若动点P满足

，求

的值．（提示：

请利用备用图进行探求）

3.

（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA，OB，OC，且OA=3，OB=4，OC=5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：

①旋转角是__________度；

②线段OD的长为__________；

③求∠BDC的度数．

（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°

）内一点，连接OA，OB，OC，∠AOB=135°

，OA=1，OB=2，求OC的长．

小明同学借用了图1的方法，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，请你继续用小明的思路解答，或是选择自己的方法求解．

4.已知，在△ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF．

（1）观察猜想

如图1，当点D在线段BC上时可以证明△ABD≌△ACF，则

①BC与CF的位置关系为______________；

②BC，DC，CF之间的数量关系为______________．

（2）类比探究

如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，

（1）中①②结论是否仍然成立？

若成立，请给予证明；

若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

（3）拓展延伸

如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．

①BC，DC，CF之间的数量关系为________________；

②若正方形ADEF的边长为3，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，则OC的长度为___________．

【新定义】

1.如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：

如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？

请说明理由．

（2）性质探究：

试探索垂美四边形ABCD两组对边AB2，CD2与BC2，AD2之间的数量关系．

猜想结论：

（要求用文字语言叙述）_____________________，写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．

（3）问题解决：

如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE的长．

2.我们定义：

在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°

＜α＜180°

）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β=180°

时，我们称△AB′C′叫△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′的边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”．下面各图中，△AB′C′均是△ABC的“旋补三角形”，AD均是△ABC的“旋补中线”．

（1）如图1，若△ABC为等边三角形，BC=8，则AD的长等于________；

（2）如图2，若∠BAC=90°

，求证：

AD=

BC；

（3）如图3，若△ABC为任意三角形，

（2）中结论还成立吗？

如果成立，给予证明；

如果不成立，说明理由．