平面向量提高测试题一.docx
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平面向量提高测试题一
提高测试
（一）
（一）选择题（每题
4分，共24分）
1如图，在△ABC中，点
D、E、F分别为BC、
AC、AB的中点，以图中各点为端点的有
向线段所表示的向量中，与
EF的向量最多有（
）•
（A）3个
（B）4个
（C）6个
（D）7个
」■rrL□"l■
＜■＞:
超:
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翠翌劈竖:
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ru^3■■■LJ\V/JL-bJ^3
逶翕応二:
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TZr,——
H八-•
【提示】据已知，与EF共线的向量有FE,BD,DB,DC,CD,BC,CB.
【答案】（D）•
【提示】本题考查共线向量的概念.注意两个共线向量的方向可以相同，也可以不同.
2.已知向量a=（1,2）,b=（3,1）,c=（11,7）.若c=ka+lb,则k、I的值为（）.
（C）2,-3（D）2,3
【提示】据已知，有（11,7）=k（1,2）+I（3,1）,可得关于k,l的二元方程组
k+S"1解之即可.
i2k+l=7
【答案】（D）•
【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，以及向量相等的充要条件.
3.已知四边形ABCD的四个顶点坐标分别是A（1,2）,B（4,0）,C（8,6）,D（5,8）,
有下面四个结论:
其中正确的结论是
【提示】
由AB=（3,-2）,DC=（3,-2）,即AB=DC，得四边形ABCD是平行四边
形，结论①正确；又BC=（4,6）,得BC-AB=12-12=0,即卩BC丄AB,□ABCD是矩形，结论②正确；而|AB1=J13,|bC|=2J13，即|AB严|Bci,故结论③、④均不
正确.
【答案】（A）.
【点评】
本题考查向量的坐标运算，数量积，向量垂直的充要条件，两点间的距离公式•即利用向量的有关知识，判定平面图形的几何特征.通常情况下，对于任意四边形，利用向量共线,判断是否为梯形；利用向量相等，判断是否为平行四边形•对于平行四边形，再利用数量积为零，判断是否为矩形，利用相邻两边所表示向量的模的大小•判断是否为菱形.
4.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（-1,—4）,B（5,2）,C（3,4）,则角B等于
（）.
【提示一】可由已知顶点坐标，禾U用两点间距离求出三条边长，再用余弦定理求角
由已知，可得
AB
J[5-（-1）]2+[2-（-4）]2=642,
由余弦定理，得
72+8—80
2X6、/2x2V2
/B=90°
利用向量知识，求角B,
就是求向量BA与BC的夹角.由三个顶点的坐标，得
BA=
（6,6）,BC=（-2,2）.
|BA|=6^2,|Bc=242.
_6x（—2）+6咒2
==0.
642^242
得/B=90°
实际上，由BA•BC=6X
（-2）+6X2=0，便可知BA丄BC，于是/B
【答案】（A）•
【点评】
本题运用
本题考查向量知识的灵活应用，以及解斜三角形的有关知识.考查运算能力,
【提示】
坐标为P‘（X’，y’），则
iy，=y+k[/=y+3.
据已知，点P'满足
y'=4X’2—2x'+4,
y+3=4
（2）2"»
化简，得y=4"乩也-3.
【答案】（C）.
【点评】本题考查平移公式，应明确图象的平移实质上是图象上点的平移.
6.在△ABC中，若A：
B:
C=1:
1:
4，则a:
b:
c等于（）.
（A）1:
1:
2
（B）1：
1：
4
【提示】
将边之比转化为对应角的正弦函数之比，再由正弦定理可得.
由A:
B:
C=1:
1:
4，可得
A=B=30°,C=120
sinA=sinB
由正弦定理，可知
【答案】（C）.
【点评】本题根据已知条件，把求边的比的问题转化为关于角的问题，考查了正弦定理的应用.
4分，共20分）
【提示】
=ab（ac）-a
=（a-c）（ab）-（a-b）（a-c）
=0.
【答案】0.
【点评】本题考查平面向量数量积的运算律，注意数量积运算的结果为一个数.
H1—H.1—
2.已知A（2,3）,B（-1,5），且AC=一AB,AD=-一AB，则CD中点的坐标是
34
要求CD中点的坐标，必先求得点C、D的坐标.
A（2,3）,B（-1,5）.
AB=（-3,
2）,
—'1—
AC=-AB
3
（-1，3）.
—1—-
又AD=——AB
4
由点D的坐标为（
代入中点坐标公式，得
【答案】
【点评】
.11
1+—
4
2
（兰,
8
115
32
2
37）.
12
即（15,37）.
812
本题考查共线向量,
向量的坐标运算及线段的定比分点的坐标公式.
本题也可代入
1-11"*-
线段的定比分点的坐标公式.
由AC=-AB，得AC=-CB,即点C分AB所成的比为
32
1"1*"1"
-，可得点C的坐标；由AD=——AB，得AD=--DB，即点D分AB所成的比为245
1
--，可得点D的坐标.
5
3.在△ABC中，已知B=135°,C=15°,a=5这个三角形的最大边长为
【提示】
由已知B=135°为三角形中的最大角，其对边b为所求的最大边.
先由已知的B=135°,C=15°，求得
A=180°-（B+C）=30°
再由正弦定理，得
asinB
sinA
58n135
sin30
△ABC的最大边长为5<2.
【答案】5运.
【点评】本题主要考查应用正弦定理解决三角形的有关问题.
【提示】
4.把函数y=2X
2+x+3的图象C按a=（3,—1）平移到C'，贝UC的函数解析式为
Jx'=x+h即rx=x'-h=x'-3y=y+kly=y-k=y，+1.
代入C的方程，得
y'+1=2（x'—3）2+（x'—3）+3.
即y'=2x'2—13x'+17.
【答案】y'=2X2—13X+17.
【点评】本题考查平移公式，注意移图是在确定的坐标系xOy内进行的，习惯上将x',y'
仍写成x,y,于是C'的函数解析式为x,y的关系式.
于是BC=2.
代入余弦定理，得
AC=2.
【答案】2.
及一夹角.求第三边，应用余弦定理.
1.已知卩为^ABC内一点，且3AP+4BP+5CP=0.延长AP交BC于点D，若AB=
a,AC=b，用a、b表示向量AP、AD.
FF¥■¥■■f
注意到BP=AP—AB,CP=AP—AC，由已知3AP+4BP+5CP=0,可以得到AP关于a、b的表达式，化简即可•对于AD，可利用AP与AD共线予以解决.
【答案】
BP=AP—AB=AP—a,
CP=AP—AC=AP—b,
又3AP+4BP+5CP=0,
3AP+4（AP—a）+5（AP—b）=0,
化简，得AP=—a+二b.
312
设AD=tAP（t€R）,则
1-5r
AD=-1a+—tb.312
又设BD=kBC（k€R）,
AD=a+k（b—a）
由①、②，得
-t=1-k
解得t
'31刍=k.
L12
代入①，有
【点评】
本题是以a、b为一组基底，寻求AP、AD关于a、b的线性分解式，主要考查了向
量的加法.实数与向量的积及运算律，两个向量共线的充要条件，平面向量基本定理，求AD
时，利用了以a、
b为基底的AD的分解式是唯一确定的，这是求线性分解式常用的方法.
2.在△ABC中,
a+b=10,而cosC是方程2x2—3x—2=0的一个根，求△ABC周长
的最小值.
【提示】
三角形周长为
a+b+c,而a+b=10已知，故求△ABC周长的最小值.就是求C
的最小值，由方程的根可解得cosC的值，借助余弦定理得c与a（或b）的关系，再确定C
的最小值.
【答案】
解方程2x2—3x—2=0，得
x=2或x=—
|cosC|w1,
cosC=—
由余弦定理，得
。
2=a?
+b?
—2abcosC
=a2—b2+ab
=（a+b）2—ab,
而a+b=10,
c2=100—a（10—a）
=a2—10a+100
2
=（a—5）2+75.
当a=5时，c有最小值415=5J3
△ABC的周长为10+5J3.
【点评】
本题综合考查余弦定理，二次函数的极值等内容.通过分析题目已知条件，将求三角形
周长最小值问题转化为求c边的最小值问题.借助已知条件和余弦定理，建立了关于a的二
次函数关系，利用二次函数最值的结论确定出c的最小值，使向量得解.在解决问题的过程
也考查分析问题.解决问题的能力.
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