毕业设计如何使饮料罐制造用材最省毕业设计.docx

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毕业设计如何使饮料罐制造用材最省毕业设计

毕业论文

年级：

2009级

学号：

0907421002

姓名：

邵运

专业：

数学与应用数学

论文指导老师：

周永强

二○一三年四月二十二日

毕业设计任务书

班级：

09级非师班

姓名：

邵运

学号：

0907421002

专业：

数学与应用数学

发题日期：

2012年11月19日

完成日期：

2013年4月22日

题目：

怎么使饮料罐制造用材最省

题目类型：

数学与实际应用/技术专题研究/理论研究/饮料罐产品开发

一、设计任务及要求：

怎么设计饮料罐使的制造用材最省

二、应完成的硬件或软件实验：

1、要求对饮料罐的形状，饮料罐的用材情况，不同用材的饮料罐设计等展开一些调查，通过建模解释原因。

2、假设：

（1）饮料罐为圆柱体。

（2）一般来说饮料罐的上底的强度必须大一点，因而在制造上其厚度比罐的其他部位要厚。

据调查上底的用材是其他部位的三倍。

（3）不考虑折边。

三、应交出的设计文件及实物（包括设计论文、程序清单或磁盘、实验装置或产品等）：

成品的饮料罐设计图

四、设计进度安排：

第一部分：

市场调查，从市场上找到理论依据和实验数据。

（为期四周）

第二部分：

根据调查数据，建立数学模型，在通过模型设计结合实际讨论（为期六周）

第三部分：

理论与实际想结合验证数据的可实施性。

对模型设计进一步改进（为期2周）

评阅及答辩（为期一周）

系主任审批建议：

指导老师：

周永强

2013年4月22日

如何使饮料罐制造用材最省

摘要

随着经济与科技的发展，人类生活水平大幅度的提高，越来越多的人喜欢喝灌装饮料，如百事可乐，可口可乐，灌装啤酒等。

易拉罐饮料在市场上的销量很大，易拉罐的需求也是难以估计的，而资源是有限的，怎么设计饮料罐使制造用材最省成为越来越重要的话题。

数学来自于生活，而高于生活。

生活中的很多实际问题都可以在数学中找到原型。

怎么使饮料罐制造用材最省就是一个很好的数学建模和求最优解问题。

我们可以通过数学建模的方式一步步来发现问题并解决问题。

关键词：

饮料罐制造、最优化设计、数学建模

Abstract

Withthedevelopmentofeconomyandtechnology,thehumanlivingstandardsgreatlyimproved,moreandmorepeopleliketodrinkthebeverage,suchasPepsi,CocaCola,beerandso.

Mathematicscomesfromlife,buthigherthanthelife.Manypracticalproblemsinlifeareallprototypescanbefoundintomakethebeveragecanmanufacturingtimbermostprovincesisamathematicalmodelingisverygoodandtheoptimalsolutionoftheproblem.Wecanfindandsolveproblemsthroughmathematicalmodelingapproachstepbystep.

Keywords：

mathematicalmodeling、Optimizationdesign、mathematicalmodeling

摘要..............................................................4

Abstract..........................................................5

第一章绪论

一、背景和意义....................................................6

二、主要方法和研究进展............................................6

三、主要内容......................................................6

四、结构安排......................................................6

第二章问题分析

一、建立数学模型..................................................7

二、模型的求解....................................................10

三、模型结合实际..................................................14

四、模型的改进与评价..............................................15

第三章实际生活现状..............................................17

结论..............................................................18

致谢词............................................................19

参考文献..........................................................20

第一章绪论

一、背景和意义

随着经济与科技的发展，人类生活水平大幅度的提高，越来越多的人喜欢喝灌装饮料，如百事可乐，可口可乐，灌装啤酒等。

对于商家来说，怎么设计饮料罐使的制造用材最省成为越来越重要的话题。

易拉罐饮料在市场上的销量很大，易拉罐的需求也是难以估计的。

而资源是有限的，因此易拉罐的最优设计是非常有必要的。

二、主要方法

怎么使饮料罐制造用材最省就是一个很好的数学建模和求最优解问题。

本论文中我们着重从形状和尺寸的角度分析碳酸饮料的铝质易拉罐，在容积确定的条件下以材料最省为目标建立优化模型。

三、主要内容

本论文通过提出问题发现问题，利用数学的最优化设计和数学建模的相关知识具体分析，还原实际的方式分析并确定怎么使饮料罐制造用材最省的解决方案，最后解决实际问题。

四、结构安排

论文研究的意义——考察实际生活中的现象提出假设——依据假设提出最合适的最优化设计——建立数学模型求出相关数据——数据结合实际分析误差存在的原因——进一步改善模型——得出最优化设计——最优化设计可实施性分析——结论

第二章问题分析

下面我们着重从形状和尺寸的角度分析碳酸饮料的铝质易拉罐，在容积确定的条件下以材料最省为目标建立优化模型。

一、建立数学模型：

1、问题分析：

首先考虑单个饮料罐的用材，即考虑饮料罐本身的设计。

由于在市场上的百事可乐、可口可乐、雪花啤酒、山城啤酒等同等大小的易拉罐上均表明了容积为355毫升，所以考虑易拉罐能容纳的体积是既定的，因此问题化为如何使所用的面积最小。

为了方便放置，可将易拉罐设计成为长方体喝圆柱体两种类型：

（1）模型假设：

因为罐盖（上底）厚度为罐底（下底）厚度的三倍，所以假设罐盖（上底）为三片与罐底同厚度的材料重叠而成。

对于长方体，有假设：

长为a，宽为b，高位h，容积为v；

（2）模型建立：

长方体：

V=abh;所以有h=V/（ab）

S=4ab+2ah+2bh=4ab+2V/b+2V/a

圆柱体：

V=圆柱体：

V=πr2h,h=V/πr2

S=3πr2+πr2+πr2

模型求解可知道由两者对比可知，圆柱体面积比长方形面积小所以选择圆柱体。

2、联系实际生活对模型进一步分析：

生活中我们发现饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等销量很大的饮料易拉罐的形状和尺寸几乎都是一样的，这应该是某种意义下的最优设计。

要求使易拉罐形状和尺寸达到最优设计，大致可分三部考虑：

首先，将罐体近似看成正圆柱体，来确定它的高与直径之间的关系，并说明其可行性。

其次，将罐体近似看成一个正圆台和正圆柱的组合体来分析它的高与底部直径之间的关系，说明其合理性。

最后，可考虑罐底的球缺部分，并作出合理的假设（将罐底近似看成正圆台与球缺组成）。

经过分析又可将罐设计成由一个正圆柱和半球截去顶部所组成，又为了使罐更美观，我们可以人为的使其接近黄金比例，可通过高与底部直径比来确定，在同时兼备艺术的情况下使罐体达到最优化。

模型假设与符号说明

（1）假设不同厚度的材料单位重量的价格均相等；

（2）针对问题将易拉罐形状理想化、简单化；问题二将易拉罐近似看成一个圆柱，分两种情况：

假设易拉罐的厚度不计；假设易拉罐的厚度要计，且易拉罐的上下底厚为αb,易拉罐的侧面厚度为b；问题三将易拉罐近似看成由一个圆柱和一个圆台构成，同样分两种情况：

假设易拉罐的厚度不计；假设易拉罐的厚度要计，且易拉罐的上下底厚为αb,易拉罐的侧面厚度为b；问题四中的模型厚度均要计，且易拉罐的上下底厚为αb,易拉罐的侧面厚度为b；

符号说明

圆柱半径R；圆柱上的圆台的半径r1；圆柱底圆台的半径；r2

圆柱高度H；圆柱上圆台的高度h1；圆柱底圆台的高度；h2

易拉罐侧面材料的厚度b；

易拉罐上下盖厚度与侧面厚度的比值α；

易拉罐上圆台的倾斜角θ；

易拉罐上圆台倾斜角的正切值K1；

易拉罐下圆台的倾斜角β；

易拉罐下圆台倾斜角的正切值K2；

圆截半球所成的角度φ；

易拉罐的容积V；

易拉罐的表面积S；

易拉罐所用材料的体积Sv。

3、模型的建立

设易拉罐是一个正圆柱体，假设厚度忽略不计。

求解体积一定时，表面积最小的尺寸（半径和高之比）。

由公式S（R,H）=2πRH+2πR；V=πRH⇒H=V/πR2

又由S′（R）=2π（2R−V）=0，求得2πR

R=3

V=πRH

VV34π2=2R=d故H=2=πRπV2

显然，这种尺寸下的易拉罐不美观。

可见，只考虑表面积而不考虑易拉罐各个部分的材料厚度是比较粗略的。

联系实际对模型进一步分析，用手模一下罐顶盖、底盖与侧面发觉硬度都不一样，为了便于计算，不妨假设上下盖一样厚，侧面较薄，故设罐侧厚为b，顶盖底盖厚度为αb

饮料罐侧面所用材料的体积为：

（π（R+b）2−πR2）（H+2αb）=（2πRb+πb2）（H+2αb）=2πRbH+πb2H+4απRb2+2απRb3

饮料罐顶盖、底部所用材料的体积均为：

απR2b故Vs和V分别为：

Vs（R,H）=2πRbH+πb2H+4απRb2+2απb3+2απR2b

V（R,H）=πR2H

因为b<

Vs（R,H）≈2πRbH+2απR2b

令g（R,H）=πR2H−V，于是建立以下数学模型：

R>0,H>0

minVs（R,H）

（R,H）=0

其中Vs是目标函数，g（