高三数学教案空间向量及其应用复习学案word文档资料Word格式.docx

高三数学教案空间向量及其应用复习学案word文档资料Word格式.docx

《高三数学教案空间向量及其应用复习学案word文档资料Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学教案空间向量及其应用复习学案word文档资料Word格式.docx（7页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。

本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：

以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。

预测2019年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。

三.要点精讲

1.空间向量的概念

向量：

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

如位移、速度、力等。

相等向量：

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：

用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

说明：

①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示;

②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

2.向量运算和运算率

加法交换率：

加法结合率：

数乘分配率：

①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和;

②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。

3.平行向量（共线向量）：

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

平行于记作∥。

注意：

当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线;

当我们说、平行时，也具有同样的意义。

共线向量定理：

对空间任意两个向量（）、，∥的充要条件是存在实数使=

注：

⑴上述定理包含两个方面：

①性质定理：

若∥（0），则有=，其中是唯一确定的实数。

②判断定理：

若存在唯一实数，使=（0），则有∥（若用此结论判断、所在直线平行，还需（或）上有一点不在（或）上）。

⑵对于确定的和，=表示空间与平行或共线，长度为||，当0时与同向，当0时与反向的所有向量。

⑶若直线l∥，，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。

推论：

如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式

其中向量叫做直线l的方向向量。

在l上取，则①式可化为②

当时，点P是线段AB的中点，则③

①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。

⑴表示式（﹡）、（﹡﹡）既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式;

⑵推论的用途：

解决三点共线问题。

⑶结合三角形法则记忆方程。

4.向量与平面平行：

如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面，记作∥。

向量∥与直线a∥的联系与区别。

共面向量：

我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

共面向量定理如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y，使①

与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。

空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使

或对空间任一定点O，有⑤

在平面MAB内，点P对应的实数对（x,y）是唯一的。

①式叫做平面MAB的向量表示式。

又∵代入⑤，整理得

由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内;

对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量、（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。

5.空间向量基本定理：

如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使

⑴由上述定理知，如果三个向量、、不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是，这个集合可看作由向量、、生成的，所以我们把{，，}叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量;

⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底;

⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念;

⑷由于可视为与任意非零向量共线。

与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是。

设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组，使

6.数量积

（1）夹角：

已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，，则角AOB叫做向量与的夹角，记作

⑴规定0,因而=;

⑵如果=，则称与互相垂直，记作

⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3）、（4）中的两个向量的夹角不同，

图（3）中AOB=，

图（4）中AOB=,

从而有==.

（2）向量的模：

表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。

（3）向量的数量积：

叫做向量、的数量积，记作。

即=，

向量:

（4）性质与运算率

⑵=0⑵=

四.典例解析

题型1：

空间向量的概念及性质

例1.有以下命题：

①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线;

②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面;

③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。

其中正确的命题是（）

解析：

对于①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系一定共线所以①错误。

②③正确。

例2.下列命题正确的是（）

若与共线，与共线，则与共线;

向量共面就是它们所在的直线共面;

零向量没有确定的方向;

若，则存在唯一的实数使得;

A中向量为零向量时要注意，B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D中需保证不为零向量。

题型2：

空间向量的基本运算

例3.如图：

在平行六面体中，为与的交点。

若，，，则下列向量中与相等的向量是（）

例4.已知：

且不共面.若∥,求的值.

题型3：

空间向量的坐标

例5.

（1）已知两个非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（）

A.：

||=：

||B.a1b1=a2b2=a3b3

C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零实数k，使=k

（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，，则x+y的值是（）

A.-3或1B.3或-1C.-3D.1

（3）下列各组向量共面的是（）

A.=（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5）

B.=（1，0，0），=（0，1，0），=（0，0，1）

C.=（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，1）

D.=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1）

（1）D;

点拨：

由共线向量定线易知;

（2）A点拨：

由题知或;

例6.已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4）。

设=，=，

（1）求和的夹角;

（2）若向量k+与k-2互相垂直，求k的值.

思维入门指导：

本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.

解：

∵A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），=，=，

=（1，1，0），=（-1，0，2）.

（1）cos==-，

和的夹角为-。

（2）∵k+=k（1，1，0）+（-1，0，2）=（k-1，k，2），

k-2=（k+2，k，-4），且（k+）（k-2），

（k-1，k，2）（k+2，k，-4）=（k-1）（k+2）+k2-8=2k2+k-10=0。

则k=-或k=2。

第

（2）问在解答时也可以按运算律做。

（+）（k-2）=k22-k-22=2k2+k-10=0，解得k=-，或k=2。

题型4：

数量积

例7.设、、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则

①（）-（）=②||-|||-|③（）-（）不与垂直

④（3+2）（3-2）=9||2-4||2中，是真命题的有（）

A.①②B.②③C.③④D.②④

答案：

D

①平面向量的数量积不满足结合律.故①假;

②由向量的减法运算可知||、||、|-|恰为一个三角形的三条边长，由两边之差小于第三边，故②真;

③因为[（）-（）]=（）-（）=0，所以垂直.故③假;

例8.

（1）已知向量和的夹角为120，且||=2，||=5，则（2-）=_____.

（2）设空间两个不同的单位向量=（x1，y1，0），=（x2，y2，0）与向量=（1，1，1）的夹角都等于。

（1）求x1+y1和x1y1的值;

（2）求，的大小（其中0，。

（1）答案：

13;

∵（2-）=22-=2||2-||||cos120=24-25（-）=13。

（2）解：

（1）∵||=||=1，x+y=1，x=y=1.

又∵与的夹角为，=||||cos==.

又∵=x1+y1，x1+y1=。

另外x+y=（x1+y1）2-2x1y1=1，2x1y1=（）2-1=.x1y1=。

（2）cos，==x1x2+y1y2，由

（1）知，x1+y1=，x1y1=.x1，y1是方程x2-x+=0的解.

或同理可得或

∵，或

cos，+=+=.

∵0，，，=。

评述：

本题考查向量数量积的运算法则。

题型5：

空间向量的应用

例9.

（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：

++4。

（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2（3，1，2），求物体合力做的功。

（1）设=（，，），=（1，1，1），

则||=4，||=.

=++||||=4.

当==时，即a=b=c=时，取=号。

例10.如图,直三棱柱中,求证:

证明：

五.思维总结

本讲内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是