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能控性和能观性。
及其判断方法
1、提出能控性和能观性的原因。
2、判断能控性和能观性的方法：
直观分析和四大判据
3、得到能观能控标准型的两种方法
4、几点注意
5、系统的结构分解
四、系统设计校正：
状态反馈
1、状态反馈改变系统性能的原理
2、状态反馈的特点
3、两种计算K阵的方法
4、公式集锦
-、系统的状态空间建模
1从2个角度4种方法建立状态空间表达式。
已知一个物理系统，我们给它建立了一个微分方程模型，我们想用经典理论和现代理论对其进行研究，即建立传递函数模型和状态空间表达式。
经典的传递函数模型太好建了呀，直接变换，一比就出来了。
可是状态空间模型呢，我们有两个角度①我们当然可以根据模型
的定义，利用系统的性能进行建模，这也是建立状态空间表达式的第一种方法。
②从经典控制模型的角度，首先1运用将传递函数或结构图降阶，化成状态空间特有的结构图（不同于传递函数结构图，它只有积分器、加法器、减法器、系数器）这是第二种方法。
2、从经
典控制理论的微分方程来建立。
（分成了单入单出、单入单出输入有导数项、多路多出）微分方程就是一串积分器，再加系数反馈就好了。
这是第三种方法3、传递函数（有三种方法、直接程序法、串联程序法、并联程序法）。
这是第四种方法这样说来，其实状态空间表达式所对应的结构图是从经典控制理论角度（三种方法）建立其模型的中介。
其实经典法（微分方程、传递函数）和现代法就对应了两种结构图、两种物理实现，两种结构图可以相互转换，两种模型也可以转化。
（转化的方式不唯一，很多种，稍微变化一点就可以写成完全不同的形式）我们要牢记：
AnnBnrCmnDmr
建模中的特殊形式：
单入单出微分方程建模：
友矩阵
建模微分方程输入有导数：
B法，友矩阵
传递函数直接程序法：
友矩阵
并联程序法：
对角型（特殊约旦、无重根）、约旦标准型（有重根）
线性变换中的特殊形式（两个情况）：
线性变换中A任意阵：
1特征根无重根：
对角阵
2、有重根：
约旦标准型（广义特征向量）
线性变换中A是友矩阵：
1无重根：
T为范德蒙，A为对角阵
2、有重根：
T特殊范德蒙，A为约旦标准型
3、复数根：
（也能范德蒙按上述但不好分析性质）A模态规范型T由[ab]
4、有复数根也有实数根：
模态块、对角阵（重根约旦型）、零阵的组合。
2、状态空间表达式的线性变换
我们知道，状态方程建模的方式不唯一，但它们之间必然有联系，这就引出了状态方程表达式之间的“线性变换”（线性变换不改变传
递函数）即X=TZ，最后A=T逆AT，B=T逆B，C=CT,我们希望变换后的A是个对角矩阵或者一般的约旦标准型，这就利用到了线性代数上的特征值理论，T是可逆矩阵，特征值的不同情况对应不同形式的A。
分成三种情况：
1、A是任意矩阵（很多工作在求T）2、A是友矩阵（T范德孟划对角，特殊范德蒙划约旦，复数特征值对应模态规范型）3、并联程序法直接建立约旦标准型。
'
状态空间表达'
式的线性变换
3、由状态空间表达式反推传递函数。
我们有了建模有了线性变换，我们可以由经典到现代，那可以由现代到经典吗？
这就引出了反推传递函数（矩阵）。
拉式变换一比即可。
也可以直接套用公式。
系统的连接，就是在三种情况下（串联、并联、
反馈）系统传递函数的组合。
有公式的。
这里的串并联是直接用传递函数进行的。
（传递函数是有了，那么怎么求串并联之后的系统的状态空间表达式呢，这就要从原理做起了，比如串联之后，前者的输出是后者的输入，状态变量扩充，根据输入输出关系写出新的状态空间表达式。
4、建立离散系统的状态空间表达式
用差分方程描述的离散系统建模，与连续系统及其类似，X（k+1）对应于X（k）的二阶导数，u（k）,y（k），对应输入和输出，连续系统我们用积分器组成最重要的环节：
积分环节。
而离散系统中我们完全对应，用延迟器T组成延迟环节，使x（k+1）到x（k）。
没讲如何从系统性能出发建立系统的状态空间表达式，而是直接从经典的角度，即从差分方程和脉冲传递函数出发，差分方程：
单入单出、单入单出输入有导数项。
从脉冲传递函数：
直接程序法，并联程序法。
完全类似。
串
联程序法。
⑴控制系统的传递函数模型是一个真有理分式（即分母（输出）
阶次n要高一些），这是由实际系统决定的，因为物理系统都是有惯性的，输出的相应要迟于输入，相当于输入乘上了一个惯性环节1/1+ts。
当N=M时，用直接程序法计算时，b3不等于零，有了D。
经典控制理论研究的是线性定常（时不变）连续/离散、非线性。
而
现代则可以研究时变系统，我们主要还是研究原来经典控制的范畴。
⑵在利用微分方程和传递函数建立状态空间表达式和进行线性变换的过程中，得到特殊的A阵的情形（都可以套公式的），在图的下边已经列出。
⑶约旦标准型是广义的约旦型，当有重根也有单根时，约旦标准型由重根对应的严格意义的约旦型，单根对应对角阵，和两个零矩阵组成。
友矩阵的优良性质是，他的特征多项式（加等号是特征方程）是十分好看的形式。
6、重要公式集锦。
1单入单出建立A友矩阵形式表达式
2、输入含导数项的A友矩阵形式
3、并联程序法的对角、约旦标准型表达式
4、惯性环节分解积分环节，及标准积分反馈环节。
5、线性变换及变换后的ABC表达形式
6、特征方程的写法
7、求广义特征向量
8A为友矩阵用范德蒙变换出对角阵（无重根）
9、A为友矩阵用特殊范德蒙，变换出约旦标准型
10、A为友矩阵用T变换出模态规范型（A的特征值为复数根）
11传递函数Wux、Wuy，三种连接形式下的总的传递函数
12、直接程序法
二、状态空间表达式的求解
1无输入的情况下状态变量求解（齐次方程求解）
我们有了模型，由控制理论的目的我们也能知道。
下一步就是求它响应（频域解或者是时域解）分析和改进系统的性能了。
我们首先，求了系统X导=AX，就是齐次方程的解，就是看它在零输入的情况下，系统的状态变量x在时域下的变化情况，即系统时时刻刻的状态，以期了解系统的性能。
我们通过拉式变换，求得了这个微分方程的解，即x（t）二e“AT*x（O），即我们知道了初始条件x（0）后，可以由状态转移矩阵eAAT求得任意时刻的表征系统状态的变量情况。
对于齐次方程求eAAT，利用基本的反变换的方法可以推导出几
个A为特殊矩阵（如对角阵、约旦阵、模态规范型）时求解转移矩阵的方法。
一般情况下，我们求齐次方程（X状态在无输入）的方法有四种。
1、按定义EAAT展开成I+AT+…（A次方出零的情况下）2、对于A是任意阵，用拉式反变换的方法L-1（SI-A）-1（每一项求导，麻烦）。
3、将A化成约旦型（包含对角阵）、模态规范型，用性质反求EAAT。
4、哈密顿定理表示eAat，求系数，根据特征值异否分成两种。
齐次方程求解状态转、
移矩阵
2、对于有输入的系统的状态变量求解（非齐次方程）
对于非齐次方程（有输入即B！
=0）,在变换域中求解用到了卷积,求出了x（t）。
3、状态转移矩阵的性质及判别
其实状态转移矩阵EAAT（转移很传神，对于齐次任意时刻的系统状态由初始和A决定）是有很多性质的，比较直观的有自身性（转移
嘛）eAA（t-t）=I.路径无关性。
导数性质即（eAat）'
A*eAat，当等于0的时
候等于A。
我们判断一个式子是不是状态转移矩阵，首先它要是不满足t=0时为单位矩阵，要马上排除，若满足则要继续验证是不是&
（t）'
A&
（t），即卩（（0）=A）。
4、对于系统的状态转移矩阵的唯一性研究。
对于这样唯一的系统任意时刻无论怎么建模，x（t）该一样啊….
我们前边说了一个系统由于建模方式不同可以有很多A，很多eAAT…
那不就以为着系统的eAAT不唯一？
这不就意味着一个系统任意时刻的状态不同？
这不是与唯一系统相悖吗?
错！
！
错在状态变量x在建模的时候或者是选择的不同或者是位置不
同，那么状态变量的时域解当然不同！
这种唯一性的传递关系是唯一的系统有唯一的微分方程（确定10）、传递函数，但是由于我们从经典角度建模时以结构图为中介，用诸如B法、并联程序法、串联程
序法、画出了不同形式的结构图，就算是同一结构图，状态变量取的位置标号不同，建立的状态空间表达式不同，但它们之间是线性变换的关系（后者变换关系更简单，行交换）。
对于唯一的状态空间表达式（A），系统有唯一的系统转移矩阵eAATo
5、离散系统的状态变量求解。
我们求解系统从连续情形到离散情形，每时每刻的对应关系到采样点处的对应关系，从微分方程到差分方程（递推法、Z变换），在计算
机控制领域，系统的离散化是必须的，如何由AB---GH?
我们有两种近似方法，一种是用保持器，即在采样周期内取同一个数值，利用x（t）的表达式求出了G、H，第二种用了数学导数的方法，当采样周期比较大的时候两种方法的近似程度相仿，而当采样周期比较小的时候前者比较好。
1状态转移矩阵的原是表达式、几种A为特殊形式时的状态转移矩阵
2、四种方法求状态转移矩阵：
定义展开、拉式变换、反T变换、哈密顿定理
3、非齐次状态转移矩阵方法
4、判断状态转移矩阵的方法
三、提出性能指标：
能控性和能观性
1提出能控性和能观性的原因。
我们求解了系统之后，即每时每刻的X（t），我们提出了系统的性能指标即能控性和能观性，能控性就是我们利用唯一一组输入u,可以让系统的状态由初始转移到任意状态。
能观性就是每一个系统的状态
X（t）都可以经过测量系统输出y,来唯一确定。
能控性、能观性（离散系统和连续系统完全类似）他们有各自的含义和研究的原因和判断方法，能控性体现的是输入对状态变量（系统的标识）的控制作用，可以通过特定输入达到任一个X状态。
能观性体现的是输出变量Y对状态变量的反映能力，这样我们可以通过测量有限个输出，确定系统任意时刻的状态。
2、判断能控性和能观性的方法：
直观分析和四大判据（能控能观各有）
这样根据定义，能控性就转化成了非齐次x（t）的求解过程中唯一解的条件。
我们得出了四大判据中的第一个即秩的条件，这是最基本的。
同理，由y=Cx,x=状态转移，能观性也能变成秩的条件。
判定系统的能观性和能控性建立在定义的基础上（由…能不能解
出…）我们拥有直观分析和四种判据。
直观分析不太靠谱，只能判断没有直接和间接关系就不能控不能观，就算是表面上有关系，在传递函数中也可能被消去，判断的王道是秩！
这是从定义来的！
分析关系的时候最好不要从表达式上看，容易出错，看结构图吧，看变量是不是自成一环与别的变量和出入没有关系（不能控），是不是变量与Y没有直接的联系，Y都不经过它（不能观）。
四种判据都建立在定义的基础上，求解线性方程得出唯一解的条件（满秩唯一解，保证有效
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