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1、能控性和能观性。及其判断方法1、 提出能控性和能观性的原因。2、 判断能控性和能观性的方法：直观分析和四大判据3、 得到能观能控标准型的两种方法4、 几点注意5、 系统的结构分解四、 系统设计校正：状态反馈1、 状态反馈改变系统性能的原理2、 状态反馈的特点3、 两种计算K阵的方法4、 公式集锦-、 系统的状态空间建模1从2个角度4种方法建立状态空间表达式。已知一个物理系统，我们给它建立了一个微分方程模型， 我们想 用经典理论和现代理论对其进行研究，即建立传递函数模型和状态空 间表达式。经典的传递函数模型太好建了呀，直接变换，一比就出来 了。可是状态空间模型呢，我们有两个角度我们当然可以根据模

2、型的定义，利用系统的性能进行建模，这也是建立状态空间表达式的第 一种方法。从经典控制模型的角度，首先 1运用将传递函数或结 构图降阶，化成状态空间特有的结构图（不同于传递函数结构图，它 只有积分器、加法器、减法器、系数器）这是第二种方法。 2、从经典控制理论的微分方程来建立。（分成了单入单出、单入单出输入有 导数项、多路多出）微分方程就是一串积分器，再加系数反馈就好了。 这是第三种方法3、传递函数（有三种方法、直接程序法、串联程序 法、并联程序法）。这是第四种方法 这样说来，其实状态空间表达式所对应的结构图是从经典控制理论角 度（三种方法）建立其模型的中介。其实经典法（微分方程、传递函数）和现

3、代法就对应了两种结构图、 两种物理实现，两种结构图可以相互转换，两种模型也可以转化。（转 化的方式不唯一，很多种，稍微变化一点就可以写成完全不同的形式） 我们要牢记：A nn Bnr Cmn Dmr建模中的特殊形式：单入单出微分方程建模： 友矩阵建模微分方程输入有导数： B法，友矩阵传递函数直接程序法：友矩阵并联程序法：对角型（特殊约旦、无重根）、约旦标准型（有重根）线性变换中的特殊形式（两个情况）：线性变换中A任意阵：1特征根无重根： 对角阵2、有重根：约旦标准型（广义特征向量）线性变换中A是友矩阵：1无重根：T为范德蒙，A为对角阵2、 有重根：T特殊范德蒙，A为约旦标准型3、 复数根：（也

4、能范德蒙按上述但不好分析性质） A模态规范型T由a b 4、 有复数根也有实数根： 模态块、对角阵（重根约旦型）、零阵的组合。2、状态空间表达式的线性变换我们知道，状态方程建模的方式不唯一，但它们之间必然有联系， 这就引出了状态方程表达式之间的“线性变换” （线性变换不改变传递函数）即X=TZ，最后A=T逆AT，B=T逆B，C=CT,我们希望变 换后的A是个对角矩阵或者一般的约旦标准型，这就利用到了线性 代数上的特征值理论，T是可逆矩阵，特征值的不同情况对应不同形 式的A。分成三种情况：1、A是任意矩阵（很多工作在求 T）2、A 是友矩阵（T范德孟划对角，特殊范德蒙划约旦，复数特征值对应模 态

5、规范型）3、并联程序法直接建立约旦标准型。状态空间表达式的线性变换3、由状态空间表达式反推传递函数。我们有了建模有了线性变换，我们可以由经典到现代，那可以由现代 到经典吗？这就引出了反推传递函数（矩阵）。拉式变换一比即可。也可以直接套用公式。系统的连接，就是在三种情况下（串联、并联、反馈）系统传递函数的组合。有公式的。这里的串并联是直接用传递 函数进行的。（传递函数是有了，那么怎么求串并联之后的系统的状 态空间表达式呢，这就要从原理做起了，比如串联之后，前者的输出 是后者的输入，状态变量扩充，根据输入输出关系写出新的状态空间 表达式。4、建立离散系统的状态空间表达式用差分方程描述的离散系统建模

6、，与连续系统及其类似，X （ k+1） 对应于X（ k）的二阶导数，u（k）,y（k），对应输入和输出，连续系统我 们用积分器组成最重要的环节：积分环节。而离散系统中我们完全对 应，用延迟器T组成延迟环节，使x（k+1）到x（k）。没讲如何从系统性 能出发建立系统的状态空间表达式，而是直接从经典的角度，即从差 分方程和脉冲传递函数出发，差分方程：单入单出、单入单出输入有 导数项。从脉冲传递函数：直接程序法，并联程序法。完全类似。串联程序法。控制系统的传递函数模型是一个真有理分式（即分母（输出）阶次n要高一些），这是由实际系统决定的，因为物理系统都是有惯 性的，输出的相应要迟于输入，相当于输入乘

7、上了一个惯性环节 1/1+ts。当N=M时，用直接程序法计算时，b3不等于零，有了 D。 经典控制理论研究的是线性定常（时不变）连续 /离散、非线性。而现代则可以研究时变系统，我们主要还是研究原来经典控制的范畴。在利用微分方程和传递函数建立状态空间表达式和进行线性 变换的过程中，得到特殊的 A阵的情形（都可以套公式的），在图的 下边已经列出。约旦标准型是广义的约旦型，当有重根也有单根时，约旦标准 型由重根对应的严格意义的约旦型， 单根对应对角阵，和两个零矩阵 组成。友矩阵的优良性质是，他的特征多项式（加等号是特征方程） 是十分好看的形式。6、 重要公式集锦。1单入单出建立A友矩阵形式表达式2、

8、 输入含导数项的 A友矩阵形式3、 并联程序法的对角、约旦标准型表达式4、 惯性环节分解积分环节，及标准积分反馈环节。5、 线性变换及变换后的 ABC表达形式6、 特征方程的写法7、 求广义特征向量8 A为友矩阵用范德蒙变换出对角阵（无重根）9、 A为友矩阵用特殊范德蒙，变换出约旦标准型10、 A为友矩阵用T变换出模态规范型（A的特征值为复数根）11传递函数 Wux、Wuy，三种连接形式下的总的传递函数12、直接程序法二、状态空间表达式的求解1无输入的情况下状态变量求解（齐次方程求解）我们有了模型，由控制理论的目的我们也能知道。 下一步就是求 它响应（频域解或者是时域解）分析和改进系统的性能了

9、。我们首先，求了系统 X导=AX，就是齐次方程的解，就是看它在零 输入的情况下，系统的状态变量x在时域下的变化情况，即系统时时 刻刻的状态，以期了解系统的性能。我们通过拉式变换，求得了这个 微分方程的解，即x（t）二e“AT*x（O），即我们知道了初始条件x（0）后， 可以由状态转移矩阵 eAAT求得任意时刻的表征系统状态的变量情 况。对于齐次方程求eAAT，利用基本的反变换的方法可以推导出几个A为特殊矩阵（如对角阵、约旦阵、模态规范型）时求解转移矩 阵的方法。一般情况下，我们求齐次方程（X状态在无输入）的方法 有四种。1、按定义EAAT展开成I+AT+（A次方出零的情况下）2、 对于A是任意

10、阵，用拉式反变换的方法 L-1（SI-A）-1 （每一项求导， 麻烦）。3、将A化成约旦型（包含对角阵）、模态规范型，用性质反 求EAAT。4、哈密顿定理表示eAat，求系数，根据特征值异否分成两 种。齐次方程求解状态转、移矩阵2、对于有输入的系统的状态变量求解（非齐次方程）对于非齐次方程（有输入即 B ！ =0）,在变换域中求解用到了卷积, 求出了 x（t）。3、状态转移矩阵的性质及判别其实状态转移矩阵EAAT （转移很传神，对于齐次任意时刻的系统状 态由初始和A决定）是有很多性质的，比较直观的有自身性（转移嘛）eAA（t-t）=I.路径无关性。导数性质即（eAat）A*eAat，当等于0的

11、时候等于A。我们判断一个式子是不是状态转移矩阵， 首先它要是不满 足t=0时为单位矩阵，要马上排除，若满足则要继续验证是不是 &（t） A&（t），即卩（0）=A ）。4、对于系统的状态转移矩阵的唯一性研究。对于这样唯一的系统任意时刻无论怎么建模， x（t）该一样啊.我们前边说了一个系统由于建模方式不同可以有很多 A，很多eAAT那不就以为着系统的eAAT不唯一？ 这不就意味着一个系统任意时刻的状态不同？这不是与唯一系统相 悖吗?错！错在状态变量x在建模的时候或者是选择的不同或者是位置不同，那么状态变量的时域解当然不同！ 这种唯一性的传递关系是唯一 的系统有唯一的微分方程（确定10）、传递函数

12、，但是由于我们从经 典角度建模时以结构图为中介，用诸如 B法、并联程序法、串联程序法、画出了不同形式的结构图，就算是同一结构图，状态变量取的 位置标号不同，建立的状态空间表达式不同，但它们之间是线性变换 的关系（后者变换关系更简单，行交换）。对于唯一的状态空间表达 式（A），系统有唯一的系统转移矩阵 eAATo5、 离散系统的状态变量求解。我们求解系统从连续情形到离散情形，每时每刻的对应关系到采样点 处的对应关系，从微分方程到差分方程（递推法、 Z变换），在计算机控制领域，系统的离散化是必须的，如何由AB-GH ?我们有两种 近似方法，一种是用保持器，即在采样周期内取同一个数值，利用 x（t）

13、的表达式求出了 G、H，第二种用了数学导数的方法，当采样周期 比较大的时候两种方法的近似程度相仿，而当采样周期比较小的时候 前者比较好。1状态转移矩阵的原是表达式、几种 A为特殊形式时的状态转移矩阵2、 四种方法求状态转移矩阵：定义展开、拉式变换、反 T变换、哈密顿定理3、 非齐次状态转移矩阵方法4、 判断状态转移矩阵的方法三、提出性能指标：能控性和能观性1提出能控性和能观性的原因。我们求解了系统之后，即每时每刻的 X（t），我们提出了系统的性能 指标即能控性和能观性，能控性就是我们利用唯一一组输入 u,可以 让系统的状态由初始转移到任意状态。能观性就是每一个系统的状态X（t）都可以经过测量系

14、统输出 y,来唯一确定。能控性、能观性（离 散系统和连续系统完全类似）他们有各自的含义和研究的原因和判断 方法，能控性体现的是输入对状态变量（系统的标识）的控制作用， 可以通过特定输入达到任一个 X状态。能观性体现的是输出变量 Y 对状态变量的反映能力，这样我们可以通过测量有限个输出， 确定系 统任意时刻的状态。2、判断能控性和能观性的方法：直观分析和四大判据（能控能观各有）这样根据定义，能控性就转化成了非齐次 x（t）的求解过程中唯一解的 条件。我们得出了四大判据中的第一个即秩的条件，这是最基本的。 同理，由y=Cx,x=状态转移，能观性也能变成秩的条件。判定系统的能观性和能控性建立在定义的基础上（由 能不能解出）我们拥有直观分析和四种判据。直观分析不太靠谱，只能判断 没有直接和间接关系就不能控不能观， 就算是表面上有关系，在传递 函数中也可能被消去，判断的王道是秩！这是从定义来的！分析关系 的时候最好不要从表达式上看，容易出错，看结构图吧，看变量是不 是自成一环与别的变量和出入没有关系（不能控），是不是变量与 Y 没有直接的联系，Y都不经过它（不能观）。四种判据都建立在定义 的基础上，求解线性方程得出唯一解的条件（满秩唯一解，保证有效