江苏省高邮市学年高二下学期第三次阶段检测数学I卷试题Word版含答案.docx

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江苏省高邮市学年高二下学期第三次阶段检测数学I卷试题Word版含答案

江苏省高邮市2018-2019学年高二下学期第三次阶段检测

数学（I卷）试题

参考公式：

（s，h分别为棱锥底面面积和高）．

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1．设全集，集合，，则＝▲．

2．命题“若，则”的否命题是▲．

3．已知数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的▲．

4．已知复数，i为虚数单位，是的共轭复数，则＝▲．

5．运行如图所示的伪代码，其结果为▲．

6．对某路段上行驶的汽车速度实施监控，从速度在的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在以下的汽车有▲辆．

7．若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲不在第一天且乙不在第二天，同时丙不在第三天的概率为▲．

8．在平面直角坐标系中，已知双曲线的渐近线方程为，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为▲．

9．已知，，．若，则▲．

10．设一个轴截面是边长为4的正方形的圆柱体积为，底面边长为，侧棱长为的正四棱锥的体积为，则的值是▲．

11．等比数列的前项和为，公比，若，则公比的取值范围是▲．

12．函数的最大值是▲．

13．过点的直线与圆相交于两点，若点恰好是线段的

中点，则直线的斜率是▲．

14．在中，已知，点分别是边的中点，则的取值范围是▲．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

如图，在四边形中，，为的中点，矩形所在的平面垂直于平面．

（1）求证：

AF平面CBF；

（2）设FC的中点为M，求证：

OM//平面DAF．

16．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A、B、C的对边长分别是a、b、c，

已知．

（1）求cosC的值；

（2）若c＝1，tanB＝，求a的值．

17．（本小题满分14分）

如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD，设梯形部件ABCD的面积为y平方米．

（1）按下列要求写出函数关系式：

①设CD=2x（米），将y表示成x的函数关系式；

②设∠BOC=（rad），将y表示成的函数关系式．

（2）选择一个函数关系式，求梯形部件ABCD面积y的最大值．

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系中已知分别为椭圆：

的左右焦点，且

椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）点P为椭圆上任意一点，求的最小值；

（3）过点的直线交椭圆于另一点，点在直线上，且，若，求直线的斜率．

19．（本小题满分16分）

设函数，为正实数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求证：

；

（3）若函数的极大值为0，求实数的值．

20．已知数列与的前项和分别为和，且对任意，恒成立．

（1）若，求；

（2）若对任意，都有及成立，求正实数的取值范围；

（3）若，是否存在两个互不相等的整数，使成等差数列？

若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

江苏省高邮市2018-2019学年高二下学期第三次阶段检测

数学（I卷）试题参考答案

参考公式：

（s，h分别为棱锥底面面积和高）．

二、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1．设全集，集合，，则＝▲．

2．命题“若，则”的否命题是▲．若，则

3．已知数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的▲．

必要不充分条件

4．已知复数，i为虚数单位，是的共轭复数，则＝▲．1

5．运行如图所示的伪代码，其结果为▲．16

6．对某路段上行驶的汽车速度实施监控，从速度在的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在以下的汽车有▲辆．75

7．若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲不在第一天且乙不在第二天，同时丙不在第三天的概率为▲．

8．在平面直角坐标系中，已知双曲线的渐近线方程为，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为▲．

9．已知，，．若，则▲．2

10．设一个轴截面是边长为4的正方形的圆柱体积为，底面边长为，侧棱长为的正四棱锥的体积为，则的值是▲．

11．等比数列的前项和为，公比，若，则公比的取值范围是▲．

12．函数的最大值是▲．

13．过点的直线与圆相交于两点，若点恰好是线段的

中点，则直线的斜率是▲．

14．在中，已知，点分别是边的中点，则的取值范围是▲．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

如图，在四边形中，，为的中点，矩形所在的平面垂直于平面．

（1）求证：

AF平面CBF；

（2）设FC的中点为M，求证：

OM//平面DAF．

证明：

（1）因为平面平面，，平面平面=，所以平面，（2分）

又平面，则，（4分）

又，且，平面，所以平面．（7分）

（2）设的中点为，则，（9分）

又，则，所以四边形为平行四边形，所以．（12分）

又平面，平面，

所以平面．（14分）

16．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A、B、C的对边长分别是a、b、c，已知．

（1）求cosC的值；

（2）若c＝1，tanB＝，求a的值．

解

（1）由，得，（3分）

即，解得或（舍去）．（6分）

（2）由，，有．

因为，所以，解得．

又，，于是，．（10分）

．（12分）

由正弦定理得．（14分）

17．（本小题满分14分）

如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD，设梯形部件ABCD的面积为y平方米．

（1）按下列要求写出函数关系式：

①设CD=2x（米），将y表示成x的函数关系式；

②设∠BOC=（rad），将y表示成的函数关系式．

（2）选择一个函数关系式，求梯形部件ABCD面积y的最大值．

解以直径AB所在的直线为x轴，线段AB中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，过点C作CE垂直于x轴于点E．

（1）①CD=2x，OE=x（0＜x＜1），，

所以．

……………………………………………………………………………………………4分

②，OE=cos，CE=sin，

．

……………………………………………………………………………………………8分

（2）（方法1）由①可知

设，所以，

令t'=0，解得，或（舍）．………………………………………………10分

当时，t'＞0，则函数t在上单调递增，

当时，t'＜0，则函数在上单调递减，

当时，t有最大值，ymax=．

答梯形部份ABCD面积y的最大值为平方米．…………………………………14分

（方法2）由②可知，

y'=[（sin+sincos）]'=（sin）'+（sin·cos）'=cos+cos2﹣sin2=2cos2+cos﹣1，

令y'=0，2cos2+cos﹣1=0，解得，或（舍）．………………10分

当时，y'＞0，则函数y在上单调递增，

当时，y'＜0，则函数y在上单调递减，

当时，ymax=，

答梯形部份ABCD面积的最大值为平方米．…………………………………14分

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系中已知分别为椭圆：

的左右焦点，且

椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）点P为椭圆上任意一点，求的最小值；

（3）过点的直线交椭圆于另一点，点在直线上，且，若，求直线的斜率．

解

（1）因为椭圆经过点和，所以解得，，．

所以椭圆的方程．…………………………………………………4分

（2）设点P的坐标为，于是．P在椭圆上，，所以．

由于，所以时，，此时点．

………………………………………………………………………………………8分

（3）由

（1）知，，．

设直线的斜率为，则直线的方程是．

联立消去可得，

解得，或，所以点坐标为．…………10分

由知，点在OA的中垂线上，又点在直线上，所以点的坐标为．

从而，．………………………………12分

因为，所以．

，，．

故直线的斜率是．……………………………………………………16分

19．（本小题满分15分）

设函数，为正实数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求证：

；

（3）若函数的极大值为0，求实数的值．

解

（1）当时，，则，……………2分

所以，又，

所以曲线在点处的切线方程为．…………4分

（2）因为，设函数，

则，…………………………………………………6分

令，得，列表如下：

极大值

所以的极大值为．

所以．………………………………………………8分

（3），，

令，得，因为，

所以在上单调增，在上单调减．

所以时，取极大值．…………………………………………12分

于是，而，

所以，解得．…………………………………………14分

设．

若，根据函数的单调性，总有，即函数的极大值不为0，与已知矛盾．

因此，所以的值为．…………………………………………………16分

20．已知数列与的前项和分别为和，且对任意，恒成立．

（1）若，求；

（2）若对任意，都有及成立，求正实数的取值范围；

（3）若，是否存在两个互不相等的整数，使成等差数列？

若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

解

（1）因为，当时，，也适合上式，所以．…………………………………………2分

从而，数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以．…………………………………………4分

（2）依题意，即，即，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，

所以…………………………………………5分

因为…………………………………8分

所以，

所以恒成立，

即，所以．…………………………………………10分

（3）由得：

，

所以当时，

，

当时，上式也成立，

所以，又，

所以，…………………………………………12分

假设存在两个互不相等的整数，使成等差数列，

等价于成等差数列，即………………13分

即，因为，所以，即…………14分

令，则，所以递增，

若，则，不满足，所以，

代入得，

当时，显然不符合要求；

当时，令，则同理可证递增，所以，

所以不符合要求．

所以，不存在正整数，使成等差数列．…………………1