河北省唐山市届高三下学期第一次模拟考试数学文试题Word文档格式.docx
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（5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A、8B、4 C．
D．
（6）已知命题p：
f（x）＝x3－ax的图像关于原点对称；
命题q：
g（x）＝xcosx的图像关于y轴对称．则下列命题为真命题的是
A、⌝pB、qC、p∧qD、p∧（⌝q）
（7）《算法统宗》中有一图形称为“方五斜七图”，注曰：
方五斜七者此乃言其大略矣，内方五尺外方七尺有奇．实际上，这是一种开平方的近似计算，即用7近似表示5
，当内方的边长为5时，外方的边长为5
，略大于7．如图所示，在外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为
B．
C．
D．
（8）为计算T＝
，设计了右侧的程序
框图，则在空白框中应填入
A、W＝W×
i B、W＝W×
（i＋1）
C、W＝W×
（i＋2）D、W＝W×
（i＋3）
（9）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h＝
B．
C．
D．
（10）已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长相等，∠ABC＝60°
，则直线BC1与平面ABB1A1所成角的余弦值等于
C．
D．
（11）如图，直线2x＋2y－3＝0经过函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，|φ|＜π）图象的最高点M和最低点N，则
A、ω＝
，φ＝
B、ω＝π，φ＝0
C、ω＝
，φ＝－
D、ω＝π，φ＝
（12）设函数f（x）＝aex－2sinx，x∈[0，π]有且仅有一个零点，则实数a的值为
A、
B、
C、
D、
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分．
（13）已知向量a＝（1，－3），b＝（m，6），若a∥b，则m＝_____．
（14）若函数f（x）＝
，则f（f（10））＝_____．
（15）已知圆锥的顶点和底面圆周都在半径为2的球面上，且圆锥的母线长为2，则该圆锥的侧面积为_____．
（16）已知抛物线C：
y2＝8x的焦点为F，经过点M（－2，0）的直线交C于A，B两点，若OA∥BF（O为坐标原点），则|AB|＝_____．
三、解答题：
共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个
试题考生都必须作答．第（22），（23）题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：
共60分．
（17）（12分）
已知数列{an}满足：
a1＝1，an＋1＝2an＋n－1，记bn＝an＋n，
（1）求b1，b2，b3；
（2）判断{bn}是否为等比数列，并说明理由；
（3）求{an}的前n项和Sn．
（18）（12分）
如图，△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝90°
，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置，且PB＝BE.
（1）证明：
BC⊥平面PBE；
（2）求点F到平面PEC的距离．
（19）（12分）
设椭圆C：
的左，右焦点分别为F1，F2，其离心率为
，过F2的直线l与C交于A，B两点，且△AF1B的周长为4
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上顶点为P，证明：
当l的斜率为
时，点P在以AB为直径的圆上．
（20）（12分）
为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，如有些对象对普查有误解，配合不够主动；
参与普查工作的技术人员对全新的操作平台运用还不够熟练等，这为正式普查提供了宝贵的试点经验．在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如下表所示：
普查对象类别
顺利
不顺利
合计
企事业单位
40
50
个体经营户
150
（1）写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法；
（2）补全上述列联表（在答题卡填写），并根据列联表判断是否有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；
（3）根据该试点普查小区的情况，为保障第四次经济普查的顺利进行，请你从统计的角度提
出一条建议．
附：
（21）（12分）
已知函数f（x）＝ax－
－a，a∈R．
（1）若x＝1是f（x）的极值点，求a并讨论f（x）的单调性；
（2）若1＜x＜e时，f（x）≤0，求a的取值范围．
（二）选考题：
共10分．请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
（22）[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
（其中t为参数，
0＜α＜π）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ．
（1）求l和C的直角坐标方程；
（2）若l与C相交于A，B两点，且|AB|＝8，求α．
（23）[选修4-5：
不等式选讲]（10分）
已知a，b是正实数，且a＋b＝2，证明：
（1）a＋b≤2；
（2）（a＋b3）（a3＋b）≥4．
唐山市2018—2019学年度高三年级第一次模拟考试
文科数学参考答案
一．选择题：
A卷：
BBACDDACDBAB
B卷：
BCABDDACDCAB
二．填空题：
（13）－2（14）1（15）23π（16）17
三．解答题：
（17）解：
（1）因为a1＝1，所以a2＝2a1＋0＝2，a3＝2a2＋2－1＝5，
从而b1＝2，b2＝a2＋2＝4，b3＝a3＋3＝8，…3分
（2）{bn}是等比数列．
因为an+1＝2an＋n－1，
所以an＋1＋n＋1＝2（an＋n），
所以an+1＋（n＋1）
an＋n＝2，即bbn+1n＝2，
所以{bn}是等比数列，且首项b1＝2，公比为2．…8分
（3）由
（2）知bn＝2n，
故an＝bn－n＝2n－n．
所以Sn＝（21＋22＋23＋…＋2n）－（1＋2＋3＋…＋n）
＝2n＋1－2－n2＋n
2．…12分
（18）解：
（1）因为E，F分别为AB，AC边的中点，
所以EF∥BC，
因为∠ABC＝90°
，
所以EF⊥BE，EF⊥PE，
又因为BE∩PE＝E，
所以EF⊥平面PBE，
所以BC⊥平面PBE．…5分
（2）取BE的中点O，连接PO，
由
（1）知BC⊥平面PBE，BC⊂平面BCFE，
所以平面PBE⊥平面BCFE，
因为PB＝BE＝PE，
所以PO⊥BE，
又因为PO⊂平面PBE，平面PBE∩平面BCFE＝BE，
所以PO⊥平面BCFE，…7分
在Rt△POC中：
PC＝PO2＋OC2＝25，
在Rt△EBC中：
EC＝EB2＋BC2＝25，
在△PEC中，PC＝EC＝25，PE＝2，
所以S△PEC＝19，
又S△ECF＝2，设点F到平面PEC的距离为d，
由VF－PEC＝VP－ECF得S△PEC×
d＝S△ECF×
PO，
19×
d＝2×
3，所以d＝257
19，
即点F到平面PEC的距离为257
19.…12分
（19）解：
（1）△AF1B的周长等于|AF1|＋|AB|＋|BF1|
＝|AF1|＋|AF2|＋|BF2|＋|BF1|＝4a，
所以4a＝42，从而a＝2．…3分
因为e＝c
a
＝
2
2，所以c＝1，即b2＝a2－c2＝1，
椭圆C的方程为x2
2＋y2＝1．…5分
（2）由
（1）得P（0，1），F2（1，0）．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
依题意，l的方程为x＝3y＋1，
将l的方程代入C并整理，可得11y2＋6y－1＝0，
所以y1＋y2＝－116，y1y2＝－111．…8分
→PA·
→PB＝x1x2＋（y1－1）（y2－1）
＝（3y1＋1）（3y2＋1）＋（y1－1）（y2－1）
＝10y1y2＋2（y1＋y2）＋2
＝0
所以PA⊥PB，
综上，点P在以AB为直径的圆上.…12分
（20）解：
（1）分层抽样…2分
（2）完成列联表
普查对象类别
顺利
不顺利
企事业单位
40
10
个体经营户
100
50
合计
140
60
200
…5分
将列联表中的数据代入公式计算得
K2＝n（ad－bc）2
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）＝
200（40×
50－100×
10）2
140×
60×
50×
150＝
63≈3.175＞2.706，
所以有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”．
…10分
（3）（意思相近即可得分）
建议：
加大宣传力度，消除误解因素，尤其要做好个体经营户的思想工作.
…12分
P
F
A
BC
E
O
（21）解：
（1）f'
（x）＝a－1－lnx
x2＝
ax2＋lnx－1
x2，x＞0．
因为x＝1是f（x）的极值点，
所以f'
（1）＝0，可得
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