[正式]2017年1月广东省学业水平考试数学试题.doc

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2017年1月广东省学业水平考试数学试题

满分100分

一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分）

1.已知集合M={0,2,4},N={1,2,3},P={0,3},则=（）

A.{0,1,2,3,4}B.{0,3}C.{0,4}D.{0}

2.函数的定义域是（）

A.B.C.D.

3.设i为虚数单位,则复数=（）

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

4.命题甲：

球的半径为1cm，命题乙:

球的体积为cm3，则甲是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知直线l过点A（1,2）,且与直线垂直,则直线l的方程是（）

A.y=2xB.y=-2x+4C.D.

6.顶点在原点，准线为x=2的抛物线的标准方程是（）

A.B.C.D.

7.已知三点A（-3,3）,B（0,1）,C（1,0）,则|+|=（）

A.5B.4C.D.

8.已知角的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,终边过点P,下列等式不正确的是

A.B.C.D.

9.下列等式恒成立的是（）

A.（）B.

C.D.

10.已知数列满足,且,则的前n项之和=（）

A.B.C.D.

11.已知实数x,y,z满足,则z=2x+y的最大值为（）

A.3B.5C.9D.10

12.已知点A（-1,8）和B（5,2）,则以线段AB为直径的圆的标准方程是（）

A.B.

C.D.

13.下列不等式一定成立的是（）

A.（）B.（）

C.（）D.（）

14.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当时,,则当时,（）

A.B.C.D.

15.已知样本的平均数为4,方差为3,则的平均数和方差分别为（）

A.4和3B.4和9C.10和3D.10和9

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分．）

16.已知x>0,且成等比数列,则x=

17.函数的最小正周期是

18.从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数，该两位数小于20的概率是

19.中心在坐标原点的椭圆，其离心率为，两个焦点F1和F2在x轴上，P为该椭圆上的任意一点,若|PF1|+|PF2|=4，则椭圆的标准方程是

三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，满分24分．）

20.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

（1）证明:

为等腰三角形;

（2）若a=2,c=3,求sinC的值.

P

B

C

D

A

E

21.如图,在四棱锥P-ABCD中,,,,,PA=AB=BC=2.E是PC的中点.

（1）证明:

;

（2）求三棱锥P-ABC的体积;

（3）证明:

2017年广东省普通高中学业水平考试

数学试卷参考答案

一、选择题

　1.B　【解析】　M∪N={0,1,2,3,4},

　（M∪N）∩P={0,3}.

　2.C　【解析】　对数函数要求真数大于0,

　∴x+1>0即x>-1.

　3.D　【解析】　==

　=-i-1=-1-i,其中i2=-1.

　4.C　【解析】　充分性:

若r=1cm,由V=πr3可得体积为πcm3,同样利用此公式可证必要性.

　5.B　【解析】　垂直:

斜率互为倒数的相反数（k1k2=-1）,所以直线l的斜率为k=-2,根据点斜式方程y-y0=k（x-x0）可得y-2=-2（x-1）,整理得y=-2x+4.

　6.A　【解析】　准线方程为x=-2可知焦点在x轴上,且-=-2,∴p=4.

　由y2=2px得y2=8x.

　7.A　【解析】　=（3,-2）,

　=（1,-1）,+=（4,-3）,

　∴|+|==5.

　8.D　【解析】　r===3,

　sinα=,cosα=,tanα=

　∴A,B,C正确,D错误,

　tanα===-.

　9.D　【解析】　A.=（x≠0）

　B.（3x）2=32x

　C.log3（x2+1）+log32=log32（x2+1）.

　10.B　【解析】　{an}为公差为2的等差数列,

　由Sn=na1+d

　=n+·2=n2.

　11.C　【解析】　如图,画出可行域

　当y=-2x+z移动到A点时与y轴的截距z取得最大值,

　∵A（3,3）,所以z=2x+y的最大值为9.

　12.D　【解析】　圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2

　圆心:

C（,）=（2,5）

　半径r=

　==3

　所以圆的标准方程为（x-2）2+（y-5）2=18.

　13.B　【解析】　A选项:

错在x可以小于0;

　B选项:

x2+≥2

　=2=2≥1,

　其中≤1;

　C选项:

x2-2x+1≥0,∴x2+1≥2x;

　D选项:

设y=x2+5x+6可知二次函数与x轴有两个交点,其值可以小于0.

　14.A　【解析】　x∈[0,+∞）时,

　-x∈（-∞,0],

　由偶函数性质f（x）=f（-x）=（-x）2-sin（-x）=x2+sinx.

　15.C　【解析】　平均数加6,方差不变.

二、填空题

　16.5　【解析】　,x,15成等比数列,

　∴x2=×15=25,

　又∵x>0,∴x=5.

　17.π　【解析】　f（x）=sinxcos（x+1）+cosxsin（x+1）=sin[x+（x+1）]=sin（2x+1）

　最小正周期T===π.

　18.　【解析】　建议文科生通过画树形图的办法解此题.

选取十位数:

1

2

3

4

选取个位数:

2

3

4

1

3

4

1

2

4

1

2

3

结果:

12

13

14

21

23

24

31

32

34

41

42

43

　总共:

3×4=12种,满足条件的有3种,所以概率为=.

　19.+=1　【解析】　根据焦点在x轴上可以设椭圆标准方程为+=1（a>b>0）

　离心率:

e==

　长轴长:

2a=|PF1|+|PF2|=4

　∴a=2,c=1,b===

　∴椭圆标准方程为+=1.

三、解答题

　20.

（1）证明:

∵=,=

　∴=,即tanA=tanB,

　又∵A,B∈（0,π）,∴A=B

　∴△ABC为等腰三角形.

（2）解:

由

（1）知A=B,所以a=b=2

　根据余弦定理:

c2=a2+b2-2abcosC

　9=4+4-8cosC,

　∴cosC=

　∵C∈（0,π）,∴sinC>0

　∴sinC==.

　21.

（1）证明:

∵PA⊥AB,PA⊥AD,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,AB∩AD=A

　∴PA⊥平面ABCD,

　又∵CD⊂平面ABCD

　∴AP⊥CD.

（2）解:

由

（1）AP⊥平面ABC

　∴VP-ABC=S△ABC·AP

　=×AB·BC·sin∠ABC·AP

　=××2×2×sin60°×2=.

　（3）证明:

∵CD⊥AP,CD⊥AC,AP⊂平面APC,AC⊂平面APC,AP∩AC=A

　∴CD⊥平面APC,

　又∵AE⊂平面APC

　∴CD⊥AE

　由AB=BC=2且∠ABC=60°得

　△ABC为等边三角形,且AC=2

　又∵AP=2且E为PC的中点,

　∴AE⊥PC

　又∵AE⊥CD,PC⊂平面PCD,CD⊂平面PCD,PC∩CD=C

　∴AE⊥平面PCD.

8