三角函数和解三角形专题测试和解答Word格式.docx
《三角函数和解三角形专题测试和解答Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角函数和解三角形专题测试和解答Word格式.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
sin（x＋）＝（sinx＋cosx）＝－，
所以sinx＋cosx＝－，
所以（sinx＋cosx）2＝1＋sin2x＝，故sin2x＝－.
4．设a＝sin15°
＋cos15°
，b＝sin17°
＋cos17°
，则下列各式中正确的是（ ）
A．a＜＜bB．a＜b＜
C．b＜＜aD．b＜a＜
a＝sin（15°
＋45°
）＝sin60°
，
b＝sin（17°
）＝sin62°
，b＞a.
＝sin260°
＋sin262°
＞2sin60°
sin62°
＝sin62°
∴＞b＞a.
B
5．（2010·
惠州模拟）将函数y＝sinx的图象向左平移φ（0≤φ＜2π）个单位后，得到函数y＝sin（x－）的图象，则φ等于（ ）
A.B.C.D.
依题意得y＝sin（x－）＝sin（x－＋2π）＝sin（x＋），将y＝sinx的图象向左平移个单位后得到y＝sin（x＋）的图象，即y＝sin（x－）的图象．
6．在△ABC中，角A，B均为锐角，且cosA＞sinB，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
cosA＝sin（－A）＞sinB，－A，B都是锐角，则－A＞B，A＋B＜，C＞.
7．给定性质：
①最小正周期为π；
②图象关于直线x＝对称．则下列四个函数中，同时具有性质①②的是（ ）
A．y＝sin（＋）B．y＝sin（2x＋）
C．y＝sin|x|D．y＝sin（2x－）
∵T＝＝π，∴ω＝2.对于选项D，又2×
－＝，所以x＝为对称轴．
D
8．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为（ ）
A.B.C.D．9
由余弦定理得：
三角形第三边长为
＝3，
且第三边所对角的正弦值为
＝，
所以2R＝⇒R＝.
9．在△ABC中，角A，B所对的边长为a，b，则“a＝b”是“acosA＝bcosB”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
a＝b⇒A＝B⇒acosA＝bcosB，条件是充分的；
acosA＝bcosB⇒sinAcosA＝sinBcosB⇒sin2A＝sin2B⇒2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，故条件是不必要的．
10．已知函数f（x）＝asin2x＋cos2x（a∈R）图象的一条对称轴方程为x＝，则a的值为（ ）
A.B.C.D．2
函数y＝sinx的对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z，f（x）＝sin（2x＋φ），其中tanφ＝，故函数f（x）的对称轴方程为2x＋φ＝kπ＋，k∈Z，而x＝是其一条对称轴方程，所以2×
＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z，故tanφ＝＝tan（kπ
＋）＝，所以a＝.
11．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析
式可能为（ ）
A．f（x）＝2cos（－）
B．f（x）＝cos（4x＋）
C．f（x）＝2sin（－）
D．f（x）＝2sin（4x＋）
设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ），由函数的最大值为2知A＝2，又由函数图象知该函数的周期T＝4×
（－）＝4π，所以ω＝，将点（0,1）代入得φ＝，所以f（x）＝2sin（x＋）＝2cos（x－）．
12．（2010·
抚顺模拟）当0＜x＜时，函数f（x）＝的最小值为（ ）
A．2B．2C．4D．4
f（x）＝＝＝＋≥2＝4，
当且仅当＝，即tanx＝时，取“＝”，∵0＜x＜，∴存在x使tanx＝，这时f（x）min＝4.
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中的横线上）
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝60°
，C＝75°
，a＝4，则b＝________.
易知A＝45°
，由正弦定理＝得＝，解得b＝2.
2
14．计算：
＝________.
＝＝＝.
15．在△ABC中，已知tanA＝3tanB，则tan（A－B）的最大值为________，此时角A的
大小为________．
由于tan（A－B）＝＝＝≤.当且仅当1＝tanB时取“＝”号，则tanB＝⇒tanA＝⇒A＝60°
.
60°
16．如图是函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，－π＜φ＜π），x∈R的部分图象，则下
列命题中，正确命题的序号为________．
①函数f（x）的最小正周期为；
②函数f（x）的振幅为2；
③函数f（x）的一条对称轴方程为x＝；
④函数f（x）的单调递增区间为[，]；
⑤函数的解析式为f（x）＝sin（2x－）．
由图象可知，函数f（x）的最小正周期为（－）×
2＝π，故①不正确；
函数f（x）的振幅为，故②不正确；
函数f（x）的一条对称轴方程为x＝＝，故③正确；
④不全面，函数f（x）的单调递增区间应为[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z；
由sin（2×
＋φ）＝得2×
＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝2kπ－，k∈Z，∵－π＜φ＜π，故k取0，从而φ＝－，故f（x）＝sin（2x－）．
③⑤
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知tan（α＋）＝－3，α∈（0，）．
（1）求tanα的值；
（2）求sin（2α－）的值．
解：
（1）由tan（α＋）＝－3可得＝－3.
解得tanα＝2.
（2）由tanα＝2，α∈（0，），可得sinα＝，cosα＝.因此sin2α＝2sinαcosα＝，cos2α＝1－2sin2α＝－，sin（2α－）＝sin2αcos－cos2αsin＝×
＋×
＝.
18．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝2sinxcosx＋（2cos2x－1）．
（1）将函数f（x）化为Asin（ωx＋φ）（ω＞0，|φ|＜）的形式，填写下表，并画出函数f（x）在区间[－π，π]上的图象；
x
ωx＋φ
π
2π
f（x）
（2）求函数f（x）的单调减区间．
（1）f（x）＝2sinxcosx＋（2cos2x－1）
＝sin2x＋cos2x＝2sin（2x＋）.
－
－2
图．
（2）由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z）得
kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z），
故函数f（x）的单调减区间为[kπ＋，kπ＋]（k∈Z）．
19．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝2sinxcos（－x）－sin（π＋x）cosx＋sin（＋x）cosx.
（1）求函数y＝f（x）的最小正周期和最值；
（2）指出y＝f（x）图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于原点对称．
（1）f（x）＝2sin2x＋sinxcosx＋cos2x
＝1＋sin2x＋sinxcosx
＝1＋＋sin2x
＝sin（2x－）＋，
y＝f（x）最小正周期T＝π.
y＝f（x）的最大值为＋1＝，最小值为－1＝.
（2）∵y＝＋sin（2x－）的图象
y＝sin2x的图象．
20．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos＝.
（1）求cosB的值；
（2）若
·
＝2，b＝2，求a和c的值．
（1）∵cos＝，
∴sin＝sin（－）＝，
∴cosB＝1－2sin2＝.
（2）由
＝2可得a·
c·
cosB＝2，又cosB＝，故ac＝6，
由b2＝a2＋c2－2accosB可得a2＋c2＝12，
∴（a－c）2＝0，故a＝c，∴a＝c＝.
21．（本小题满分12分）如图所示，甲船由A岛出发向北偏东
45°
的方向做匀速直线航行，速度为15海里/小时，在甲
船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛
出发，朝北偏东θ（tanθ＝）的方向作匀速直线航行，速度
为10海里/小时．
（1）求出发后3小时两船相距多少海里？
（2）求两船出发后多长时间距离最近？
最近距离为多少海里？
以A为原点，BA所在直线为y轴建立如图所示
的平面直角坐标系．
设在t时刻甲、乙两船分别在P（x1，y1），Q（x2，y2）．
则，
由tanθ＝可得，cosθ＝，
sinθ＝，
故
（1）令t＝3，P、Q两点的坐标分别为（45,45），（30,20），
|PQ|＝＝＝5.
即出发后3小时两船相距5海里．
（2）由
（1）的解法过程易知：
|PQ|＝
＝
＝≥20，
∴当且仅当t＝4时，|PQ|取得最小值20.
即两船出发后4小时时，相距20海里为两船的最近距离．
22．（本小题满分14分）已知函数f（x）＝2cosxsin（x＋）－.
（1）求函数f（x）的最小正周期T；
（2）若△ABC的三边a，b，c满足b2＝ac，且边b所对角为B，试求cosB的取值范围，并确定此时f（B）的最大值．
（1）f（x）＝2cosx·
sin（x＋）－
＝2cosx（sinxcos＋cosxsin）－
＝2cosx（sinx＋cosx）－
＝sinxcosx＋·
cos2x－
＝sin2x＋·
－
＝sin2x＋cos2x
＝sin（2x＋）．
∴T＝＝＝π.
（2）由余弦定理cosB＝得，cosB＝
＝－≥－＝，∴≤cosB＜1，
而0＜B＜π，∴0＜B≤.函数f（B）＝sin（2B＋），
∵＜2B＋≤π，当2B＋＝，
即B＝时，f（B）max＝1.
升级会员 