导数的综合应用Word文件下载.docx

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1．（2014·

湖南）若0<

x1<

x2<

1，则（　　）

A．

B．

C．

D．

答案　C

解析　设f（x）＝ex－lnx（0<

x<

1），

则f′（x）＝ex－＝.

令f′（x）＝0，得xex－1＝0.

根据函数y＝ex与y＝的图象可知两函数图象交点x0∈（0,1），因此函数f（x）在（0,1）上不是单调函数，故A，B选项不正确．

设g（x）＝（0<

1），则g′（x）＝.

又0<

1，∴g′（x）<

0.

∴函数g（x）在（0,1）上是减函数．

1，∴g（x1）>

g（x2），

∴

.

2．（2013·

福建）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（　　）

A．∀x∈R，f（x）≤f（x0）

B．－x0是f（－x）的极小值点

C．－x0是－f（x）的极小值点

D．－x0是－f（－x）的极小值点

答案　D

解析　A错，因为极大值未必是最大值．B错，因为函数y＝f（x）与函数y＝f（－x）的图象关于y轴对称，－x0应是f（－x）的极大值点．C错，函数y＝f（x）与函数y＝－f（x）的图象关于x轴对称，x0应为－f（x）的极小值点．D对，函数y＝f（x）与y＝－f（－x）的图象关于原点对称，－x0应为y＝－f（－x）的极小值点．

3．设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（　　）

A．1B.C.D.

解析　|MN|的最小值，即函数h（x）＝x2－lnx（x>

0）的最小值，

h′（x）＝2x－＝，

显然x＝是函数h（x）在其定义域内唯一的极小值点，

也是最小值点，故t＝.

4．若商品的年利润y（万元）与年产量x（百万件）的函数关系式：

y＝－x3＋27x＋123（x>

0），则获得最大利润时的年产量为（　　）

A．1百万件B．2百万件

C．3百万件D．4百万件

解析　y′＝－3x2＋27＝－3（x＋3）（x－3），

当0<

3时，y′>

0；

当x>

3时，y′<

故当x＝3时，该商品的年利润最大.

题型一　利用导数证明不等式

例1　已知定义在正实数集上的函数f（x）＝x2＋2ax，g（x）＝3a2lnx＋b，其中a>

0.设两曲线y＝f（x），y＝g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．

（1）用a表示b，并求b的最大值；

（2）求证：

f（x）≥g（x）（x>

0）．

（1）解　设两曲线的公共点为（x0，y0），

f′（x）＝x＋2a，g′（x）＝，

由题意知f（x0）＝g（x0），f′（x0）＝g′（x0），

即

由x0＋2a＝，得x0＝a或x0＝－3a（舍去）．

即有b＝a2＋2a2－3a2lna＝a2－3a2lna.

令h（t）＝t2－3t2lnt（t>

0），则h′（t）＝2t（1－3lnt）．

于是当t（1－3lnt）>

0，即0<

t<

时，h′（t）>

当t（1－3lnt）<

0，即t>

时，h′（t）<

故h（t）在（0，

）上为增函数，在（

，＋∞）上为减函数，

于是h（t）在（0，＋∞）上的最大值为h（

）＝

，

即b的最大值为

（2）证明　设F（x）＝f（x）－g（x）＝x2＋2ax－3a2lnx－b（x>

0），

则F′（x）＝x＋2a－＝（x>

故F（x）在（0，a）上为减函数，在（a，＋∞）上为增函数．

于是F（x）在（0，＋∞）上的最小值是F（a）＝F（x0）＝f（x0）－g（x0）＝0.

故当x>

0时，有f（x）－g（x）≥0，

即当x>

0时，f（x）≥g（x）．

思维升华　利用导数证明不等式的步骤

（1）构造新函数，并求其单调区间；

（2）判断区间端点函数值与0的关系；

（3）判断定义域内函数值与0的大小关系，证不等式．

　证明：

当x∈[0,1]时，x≤sinx≤x.

证明　记F（x）＝sinx－x，

则F′（x）＝cosx－.

当x∈（0，）时，F′（x）>

0，F（x）在[0，]上是增函数；

当x∈（，1）时，F′（x）<

0，F（x）在[，1]上是减函数．

又F（0）＝0，F

（1）>

0，所以当x∈[0,1]时，F（x）≥0，

即sinx≥x.

记H（x）＝sinx－x，

则当x∈（0,1）时，H′（x）＝cosx－1<

0，

所以H（x）在[0,1]上是减函数，

则H（x）≤H（0）＝0，即sinx≤x.

综上，x≤sinx≤x，x∈[0,1]．

题型二　利用导数研究函数零点问题

例2　（2013·

北京）已知函数f（x）＝x2＋xsinx＋cosx.

（1）若曲线y＝f（x）在点（a，f（a））处与直线y＝b相切，求a与b的值；

（2）若曲线y＝f（x）与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．

解　

（1）由f（x）＝x2＋xsinx＋cosx，

得f′（x）＝x（2＋cosx）．

∵y＝f（x）在点（a，f（a））处与直线y＝b相切．

∴f′（a）＝a（2＋cosa）＝0且b＝f（a），

则a＝0，b＝f（0）＝1.

（2）令f′（x）＝0，得x＝0.

∴当x>

0时，f′（x）>

0，f（x）在（0，＋∞）上递增．

当x<

0时，f′（x）<

0，f（x）在（－∞，0）上递减．

∴f（x）的最小值为f（0）＝1.

∵函数f（x）在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上均单调，

∴当b>

1时曲线y＝f（x）与直线y＝b有且仅有两个不同交点．

综上可知，b的取值范围是（1，＋∞）．

思维升华　函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程（或不等式）组求解，实现形与数的和谐统一．

　已知函数f（x）＝x3－3ax－1，a≠0.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．

解　

（1）f′（x）＝3x2－3a＝3（x2－a），

当a<

0时，对x∈R，有f′（x）>

∴当a<

0时，f（x）的单调增区间为（－∞，＋∞）．

当a>

0时，由f′（x）>

解得x<

－或x>

由f′（x）<

0，解得－<

∴当a>

0时，f（x）的单调增区间为（－∞，－），（，＋∞），单调减区间为（－，）．

（2）∵f（x）在x＝－1处取得极值，

∴f′（－1）＝3×

（－1）2－3a＝0，

∴a＝1.

∴f（x）＝x3－3x－1，

f′（x）＝3x2－3，

由f′（x）＝0，解得x1＝－1，x2＝1.

由

（1）中f（x）的单调性可知，f（x）在x＝－1处取得极大值f（－1）＝1，

在x＝1处取得极小值f

（1）＝－3.

∵直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有三个不同的交点，结合如图所示f（x）的图象可知：

实数m的取值范围是（－3,1）．

题型三　生活中的优化问题

例3　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：

千克）与销售价格x（单位：

元/千克）满足关系式y＝＋10（x－6）2，其中3<

6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

（1）求a的值；

（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

思维点拨　

（1）由x＝5时y＝11求a；

（2）建立商场每日销售该商品所获利润和售价x的函数关系，利用导数求最值．

解　

（1）因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.

（2）由

（1）可知，该商品每日的销售量为

y＝＋10（x－6）2.

所以商场每日销售该商品所获得的利润为

f（x）＝（x－3）[＋10（x－6）2]

＝2＋10（x－3）（x－6）2,3<

6.

从而，f′（x）＝10[（x－6）2＋2（x－3）（x－6）]

＝30（x－4）（x－6）．

于是，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（3,4）

4

（4,6）

f′（x）

＋

－

f（x）

单调递增

极大值42

单调递减

由上表可得，x＝4时，函数f（x）在区间（3,6）内取得极大值，也是最大值．

所以，当x＝4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42.

答　当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

思维升华　在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求实际问题中的最大（小）值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点．

　请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x（cm）．

（1）某广告商要求包装盒的侧面积S（cm2）最大，试问x取何值？

（2）某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？

并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

解　设包装盒的高为hcm，底面边长为acm.

由已知得a＝x，h＝＝（30－x），0<

30.

（1）S＝4ah＝8x（30－x）＝－8（x－15）2＋1800，

所以当x＝15时，S取得最大值．

（2）V＝a2h＝2（－x3＋30x2），V′＝6x（20－x）．

由V′＝0，得x＝0（舍）或x＝20.

当x∈（0,20）时，V′>

当x∈（20,30）时，V′<

所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．

此时＝.即包装盒的高与底面边长的比值为.

一审条件挖隐含

典例：

（12分）设f（x）＝＋xlnx，g（x）＝x3－x2－3.

（1）如果存在x1，x2∈[0,2]使得g（x1）－g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M.

（2）如果对于任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

审题路线图

（1）存在x1，x2∈[0,2]使得g（