第五章 511 任意角Word下载.docx
《第五章 511 任意角Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五章 511 任意角Word下载.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
的角”三者有何不同？
答案 锐角是第一象限角也是小于90°
的角，而第一象限角可以是锐角，也可以是大于360°
的角，还可以是负角，小于90°
的角可以是锐角，也可以是零角或负角．
知识点四 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·
360°
，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
思考 终边相同的角相等吗？
相等的角终边相同吗？
答案 终边相同的角不一定相等，它们相差360°
的整数倍；
相等的角终边相同．
1．第二象限角是钝角．（ ×
）
2．终边与始边重合的角为零角．（ ×
3．终边相同的角有无数个，它们相差360°
的整数倍．（ √ ）
一、任意角的概念
例1 （多选）下列说法，不正确的是（ ）
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．钝角比第三象限角小
D．小于180°
的角是钝角、直角或锐角
答案 ACD
解析 A中90°
的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A不正确；
B中始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确；
C中钝角是大于－100°
的角，而－100°
的角是第三象限角，故C不正确；
D中零角或负角小于180°
，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D不正确．
反思感悟 理解与角的概念有关问题的关键
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
跟踪训练1 经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是（ ）
A．60°
，720°
B．－60°
，－720°
C．－30°
，－360°
D．－60°
答案 B
解析 钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而
×
＝60°
，2×
＝720°
，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°
.
二、终边相同的角
例2 已知α＝－1845°
，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．
（1）最小的正角；
（2）最大的负角；
（3）－360°
～720°
之间的角．
解 因为－1845°
＝－45°
＋（－5）×
，
即－1845°
角与－45°
角的终边相同，
所以与角α终边相同的角的集合是
{β|β＝－45°
＋k·
，k∈Z}，
（1）最小的正角为315°
（2）最大的负角为－45°
之间的角分别是－45°
，315°
，675°
反思感悟 终边相同的角的表示
（1）终边相同的角都可以表示成α＋k·
（k∈Z）的形式．
（2）终边相同的角相差360°
的整数倍．
跟踪训练2
（1）若角2α与240°
角的终边相同，则α等于（ ）
A．120°
，k∈Z
B．120°
180°
C．240°
D．240°
解析 角2α与240°
则2α＝240°
，k∈Z，
则α＝120°
，k∈Z.
（2）下列角的终边与37°
角的终边在同一直线上的是（ ）
A．－37°
B．143°
C．379°
D．－143°
答案 D
解析 与37°
角的终边在同一直线上的角可表示为37°
，k∈Z，当k＝－1时，37°
－180°
＝－143°
三、象限角及区域角的表示
例3
（1）（多选）下列四个角为第二象限角的是（ ）
A．－200°
B．100°
C．220°
D．420°
答案 AB
解析 －200°
＝－360°
＋160°
，在0°
～360°
范围内，与－200°
终边相同的角为160°
，它是第二象限角，同理100°
为第二象限角，220°
为第三象限角，420°
为第一象限角．
（2）如图所示．
①写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．
解 ①终边落在射线OA上的角的集合是
{α|α＝k·
＋210°
，k∈Z}．
终边落在射线OB上的角的集合是
＋300°
②终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是
{α|k·
≤α≤k·
（学生）
反思感悟
（1）象限角的判定方法
①根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°
之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．
②将角转化到0°
范围内．在直角坐标平面内，在0°
之间没有两个角终边是相同的．
（2）表示区域角的三个步骤
第一步：
先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：
按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°
范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<
x<
β}，其中β－α<
第三步：
起始、终止边界对应角α，β再加上360°
的整数倍，即得区域角集合．
跟踪训练3 已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围．
解 终边在30°
角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°
，k∈Z}，终边在180°
－75°
＝105°
角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°
，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°
≤α<
105°
确定nα及
所在的象限
典例 已知α是第二象限角：
（1）求角
所在的象限；
（2）求角2α所在的象限．
解
（1）方法一 ∵α是第二象限角，
∴k·
＋90°
<
α<
k·
＋180°
（k∈Z）．
∴
·
＋45°
当k为偶数时，令k＝2n（n∈Z），得
n·
这表明
是第一象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1（n∈Z），得
＋225°
＋270°
是第三象限角．
为第一或第三象限角．
方法二 如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为
的终边所在的区域，故
（2）∵k·
720°
2α<
＋360°
∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．
[素养提升] 分类讨论时要对k的取值分以下几种情况进行讨论：
k被n整除；
k被n除余1；
k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下结论．几何法依据数形结合，简单直观．通过该类问题，提升逻辑推理和直观想象等核心素养．
1．与－30°
终边相同的角是（ ）
A．－330°
B．150°
C．30°
D．330°
解析 因为所有与－30°
终边相同的角都可以表示为α＝k·
＋（－30°
），k∈Z，取k＝1，得α＝330°
2．2020°
是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
答案 C
解析 2020°
＝5×
＋220°
所以2020°
角的终边与220°
角的终边相同，为第三象限角．
3．与－460°
角终边相同的角可以表示成（ ）
A．460°
，k∈ZB．100°
C．260°
，k∈ZD．－260°
解析 因为－460°
＝260°
＋（－2）×
故与－460°
角终边相同的角可以表示成260°
4．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为（ ）
B．－120°
C．－60°
D．60°
解析 由于时针是顺时针旋转，
故时针转过的角度为负数，
即为－
＝－120°
5.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内（不包含边界），那么角α的集合是________________．
答案 {α|k·
＋150°
，k∈Z}
解析 观察图形可知，角α的集合是
1．知识清单：
（1）任意角的概念．
（2）终边相同的角．
（3）象限角、区域角的表示．
2．方法归纳：
数形结合、分类讨论．
3．常见误区：
锐角与小于90°
角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z.
1．（多选）下列四个角中，属于第二象限角的是（ ）
A．160°
B．480°
C．－960°
D．1530°
答案 ABC
解析 160°
是第二象限角；
480°
＝120°
－960°
＝－3×
＋120°
1530°
＝4×
不是第二象限角．
2．与－457°
角的终边相同的角的集合是（ ）
A．{α|α＝457°
B．{α|α＝97°
C．{α|α＝263°
D．{α|α＝－263°
3．下面各组角中，终边相同的是（ ）
A．390°
，690°
B．－330°
，750°
C．480°
，－420°
D．3000°
，－840°
解析 因为－330°
＋30°
所以－330°
与750°
终边相同．
4．若α是第四象限角，则180°
－α是（ ）
解析 可以给α赋一特殊值－60°
则180°
－α＝240°
，故180°
－α是第三象限角．
5.如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（ ）
A．{α|－45°
≤α≤120°
}
B．{α|120°
≤α≤315°
C．{α|－45°
D．{α|120°
解析 如题图，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{α|－45°
360
升级会员 