第五章 511 任意角Word下载.docx
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的角”三者有何不同?
答案 锐角是第一象限角也是小于90°
的角,而第一象限角可以是锐角,也可以是大于360°
的角,还可以是负角,小于90°
的角可以是锐角,也可以是零角或负角.
知识点四 终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·
360°
,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
思考 终边相同的角相等吗?
相等的角终边相同吗?
答案 终边相同的角不一定相等,它们相差360°
的整数倍;
相等的角终边相同.
1.第二象限角是钝角.( ×
)
2.终边与始边重合的角为零角.( ×
3.终边相同的角有无数个,它们相差360°
的整数倍.( √ )
一、任意角的概念
例1 (多选)下列说法,不正确的是( )
A.三角形的内角必是第一、二象限角
B.始边相同而终边不同的角一定不相等
C.钝角比第三象限角小
D.小于180°
的角是钝角、直角或锐角
答案 ACD
解析 A中90°
的角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故A不正确;
B中始边相同而终边不同的角一定不相等,故B正确;
C中钝角是大于-100°
的角,而-100°
的角是第三象限角,故C不正确;
D中零角或负角小于180°
,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故D不正确.
反思感悟 理解与角的概念有关问题的关键
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可.
跟踪训练1 经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是( )
A.60°
,720°
B.-60°
,-720°
C.-30°
,-360°
D.-60°
答案 B
解析 钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都是负的,而
×
=60°
,2×
=720°
,故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60°
.
二、终边相同的角
例2 已知α=-1845°
,在与α终边相同的角中,求满足下列条件的角.
(1)最小的正角;
(2)最大的负角;
(3)-360°
~720°
之间的角.
解 因为-1845°
=-45°
+(-5)×
,
即-1845°
角与-45°
角的终边相同,
所以与角α终边相同的角的集合是
{β|β=-45°
+k·
,k∈Z},
(1)最小的正角为315°
(2)最大的负角为-45°
之间的角分别是-45°
,315°
,675°
反思感悟 终边相同的角的表示
(1)终边相同的角都可以表示成α+k·
(k∈Z)的形式.
(2)终边相同的角相差360°
的整数倍.
跟踪训练2
(1)若角2α与240°
角的终边相同,则α等于( )
A.120°
,k∈Z
B.120°
180°
C.240°
D.240°
解析 角2α与240°
则2α=240°
,k∈Z,
则α=120°
,k∈Z.
(2)下列角的终边与37°
角的终边在同一直线上的是( )
A.-37°
B.143°
C.379°
D.-143°
答案 D
解析 与37°
角的终边在同一直线上的角可表示为37°
,k∈Z,当k=-1时,37°
-180°
=-143°
三、象限角及区域角的表示
例3
(1)(多选)下列四个角为第二象限角的是( )
A.-200°
B.100°
C.220°
D.420°
答案 AB
解析 -200°
=-360°
+160°
,在0°
~360°
范围内,与-200°
终边相同的角为160°
,它是第二象限角,同理100°
为第二象限角,220°
为第三象限角,420°
为第一象限角.
(2)如图所示.
①写出终边落在射线OA,OB上的角的集合;
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
解 ①终边落在射线OA上的角的集合是
{α|α=k·
+210°
,k∈Z}.
终边落在射线OB上的角的集合是
+300°
②终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是
{α|k·
≤α≤k·
(学生)
反思感悟
(1)象限角的判定方法
①根据图象判定.利用图象实际操作时,依据是终边相同的角的思想,因为0°
之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.
②将角转化到0°
范围内.在直角坐标平面内,在0°
之间没有两个角终边是相同的.
(2)表示区域角的三个步骤
第一步:
先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
第二步:
按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°
范围内的角α和β,写出最简区间{x|α<
x<
β},其中β-α<
第三步:
起始、终止边界对应角α,β再加上360°
的整数倍,即得区域角集合.
跟踪训练3 已知角α的终边在图中阴影部分内,试指出角α的取值范围.
解 终边在30°
角的终边所在直线上的角的集合为S1={α|α=30°
,k∈Z},终边在180°
-75°
=105°
角的终边所在直线上的角的集合为S2={α|α=105°
,k∈Z},因此,终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°
≤α<
105°
确定nα及
所在的象限
典例 已知α是第二象限角:
(1)求角
所在的象限;
(2)求角2α所在的象限.
解
(1)方法一 ∵α是第二象限角,
∴k·
+90°
<
α<
k·
+180°
(k∈Z).
∴
·
+45°
当k为偶数时,令k=2n(n∈Z),得
n·
这表明
是第一象限角;
当k为奇数时,令k=2n+1(n∈Z),得
+225°
+270°
是第三象限角.
为第一或第三象限角.
方法二 如图,先将各象限分成2等份,再从x轴正半轴的上方起,按逆时针方向,依次将各区域标上一、二、三、四,则标有二的区域即为
的终边所在的区域,故
(2)∵k·
720°
2α<
+360°
∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.
[素养提升] 分类讨论时要对k的取值分以下几种情况进行讨论:
k被n整除;
k被n除余1;
k被n除余2,…,k被n除余n-1.然后方可下结论.几何法依据数形结合,简单直观.通过该类问题,提升逻辑推理和直观想象等核心素养.
1.与-30°
终边相同的角是( )
A.-330°
B.150°
C.30°
D.330°
解析 因为所有与-30°
终边相同的角都可以表示为α=k·
+(-30°
),k∈Z,取k=1,得α=330°
2.2020°
是( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
答案 C
解析 2020°
=5×
+220°
所以2020°
角的终边与220°
角的终边相同,为第三象限角.
3.与-460°
角终边相同的角可以表示成( )
A.460°
,k∈ZB.100°
C.260°
,k∈ZD.-260°
解析 因为-460°
=260°
+(-2)×
故与-460°
角终边相同的角可以表示成260°
4.若手表时针走过4小时,则时针转过的角度为( )
B.-120°
C.-60°
D.60°
解析 由于时针是顺时针旋转,
故时针转过的角度为负数,
即为-
=-120°
5.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界),那么角α的集合是________________.
答案 {α|k·
+150°
,k∈Z}
解析 观察图形可知,角α的集合是
1.知识清单:
(1)任意角的概念.
(2)终边相同的角.
(3)象限角、区域角的表示.
2.方法归纳:
数形结合、分类讨论.
3.常见误区:
锐角与小于90°
角的区别,终边相同角的表示中漏掉k∈Z.
1.(多选)下列四个角中,属于第二象限角的是( )
A.160°
B.480°
C.-960°
D.1530°
答案 ABC
解析 160°
是第二象限角;
480°
=120°
-960°
=-3×
+120°
1530°
=4×
不是第二象限角.
2.与-457°
角的终边相同的角的集合是( )
A.{α|α=457°
B.{α|α=97°
C.{α|α=263°
D.{α|α=-263°
3.下面各组角中,终边相同的是( )
A.390°
,690°
B.-330°
,750°
C.480°
,-420°
D.3000°
,-840°
解析 因为-330°
+30°
所以-330°
与750°
终边相同.
4.若α是第四象限角,则180°
-α是( )
解析 可以给α赋一特殊值-60°
则180°
-α=240°
,故180°
-α是第三象限角.
5.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是( )
A.{α|-45°
≤α≤120°
}
B.{α|120°
≤α≤315°
C.{α|-45°
D.{α|120°
解析 如题图,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|-45°
360