集 合文档格式.docx

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{x|x∈U且x∉A}

5.常用结论

（1）∅⊆A；

（2）A∪∅＝A；

A∪A＝A；

A∪B＝A⇔A⊇B.

（3）A∩∅＝∅；

A∩A＝A；

A∩B＝A⇔A⊆B.

（4）A∪（∁UA）＝U；

A∩（∁UA）＝∅；

∁U（∁UA）＝A.

1．若A＝

，则x<

0.（√）

2．任何集合至少有两个子集．（×

）

3．若

有且只有一个元素，则必有Δ＝12－4a＝0.（×

4．设A，B为全集的子集，则A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.（√）

类型一　集合的概念及表示法

例1　下列表示同一集合的是（　　）

A．M＝{（2,1），（3,2）}，N＝{（1,2）}

B．M＝{2,1}，N＝{1,2}

C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x2＋1，x∈N}

D．M＝{（x，y）|y＝x2－1，x∈R}，N＝{y|y＝x2－1，x∈R}

考点　集合的表示综合

题点　集合的表示综合问题

答案　B

解析　A中M，N两集合的元素个数不同，故不可能相同；

B中M，N均为含有1,2两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得M＝N；

C中M，N均为数集，显然有MN；

D中M为点集，即抛物线y＝x2－1上所有点的集合，而N为数集，即抛物线y＝x2－1的y的取值，故选B.

反思与感悟　要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等．

跟踪训练1　设集合A＝{（x，y）|x－y＝0}，B＝{（x，y）|2x－3y＋4＝0}，则A∩B＝________.

考点　交集的概念及运算

题点　无限集合的交集运算

答案　{（4,4）}

解析　由

得

∴A∩B＝{（4,4）}．

类型二　集合间的基本关系

例2　若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，求由a的可能取值组成的集合．

考点　子集及其运算

题点　根据子集关系求参数的取值范围

解　由题意得，P＝{－3,2}．

当a＝0时，S＝∅，满足S⊆P；

当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－

，

为满足S⊆P，可使－

＝－3，或－

＝2，

即a＝

，或a＝－

.

故所求集合为

反思与感悟　

（1）在分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．

（2）对于两集合A，B，当A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．

跟踪训练2　下列说法中不正确的是________．（填序号）

①若集合A＝∅，则∅⊆A；

②若集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1,1}，则A＝B；

③已知集合A＝{x|1<

x<

2}，B＝{x|x<

a}，若A⊆B，则a>

2.

考点　集合的包含关系

题点　集合包含关系的判定

答案　③

解析　∅是任何集合的子集，故①正确；

∵x2－1＝0，∴x＝±

1，∴A＝{－1,1}，

∴A＝B，故②正确；

若A⊆B，则a≥2，故③错误.

1．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有（　　）

A．2个B．4个C．6个D．8个

题点　有限集合的交集运算

2．下列关系中正确的个数为（　　）

①

∈R；

②0∈N*；

③{－5}⊆Z.

A．0B．1C．2D．3

考点　元素与集合的关系

题点　判断元素与集合的关系

答案　C

解析　①③正确．

3．已知P＝{y|y＝a2＋1，a∈R}，Q＝{m|m＝x2－4x＋5，x∈R}，则P与Q的关系不正确的是（　　）

A．P⊆QB．P⊇Q

C．P＝QD．P∩Q＝∅

答案　D

解析　∵P＝

Q＝

＝

∴P＝Q.

∴A，B，C皆正确．

4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么（∁IM）∩（∁IN）＝________.

考点　交并补集的综合问题

题点　有限集合的交并补运算

答案　∅

解析　（∁IM）∩（∁IN）＝∁I（M∪N）＝∁II＝∅.

5．已知集合U＝R，集合A＝

，B＝

，则（∁UA）∩B＝________.

题点　无限集合的交并补运算

答案　

解析　由图知（∁UA）∩B＝

1．要注意区分两大关系：

一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系．

2．在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一．

一、选择题

1．若集合M＝{x|（x＋4）（x＋1）＝0}，N＝{x|（x－4）·

（x－1）＝0}，则M∩N等于（　　）

A．{1,4}B．{－1，－4}

C．{0}D．∅

解析　因为M＝{x|（x＋4）（x＋1）＝0}＝{－4，－1}，

N＝{x|（x－4）（x－1）＝0}＝{1,4}，所以M∩N＝∅，

故选D.

2．已知集合A＝{x|y＝ln（x＋3）}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（　　）

A．A＝BB．A∩B＝∅

C．A⊆BD．B⊆A

解析　A＝{x|x>

－3}，B＝{x|x≥2}，结合数轴可得：

B⊆A.

3．已知全集U＝R，A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥3}，则集合A∩（∁UB）等于（　　）

A．{1}B．{1,2}

C．{1,2,3}D．{0,1,2}

解析　∵∁UB＝{x∈R|x<

3}，∴A∩（∁UB）＝{1,2}．

4．已知集合A＝{x|x<

2}，B＝{x|3－2x>

0}，则（　　）

A．A∩B＝

B．A∩B＝∅

C．A∪B＝

D．A∪B＝R

考点　并集、交集的综合运算

题点　并集、交集的综合运算

答案　A

解析　因为B＝{x|3－2x＞0}＝

，A＝{x|x＜2}，

所以A∩B＝

，A∪B＝{x|x＜2}．

故选A.

5．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，若M∩N＝N，则a的值是（　　）

A．－1B．0C．1D．1或－1

题点　由交集的运算结果求参数的值

解析　由M∩N＝N，得N⊆M.

当a＝0时，与集合中元素的互异性矛盾；

当a＝1时，也与集合中元素的互异性矛盾；

当a＝－1时，N＝{－1,1}，符合题意．故a＝－1.

6．设全集U＝R，已知集合A＝{x|x＜3或x≥7}，B＝{x|x＜a}．若（∁UA）∩B≠∅，则a的取值范围为（　　）

A．a＞3B．a≥3C．a≥7D．a＞7

题点　与交并补集运算有关的参数问题

解析　因为A＝{x|x＜3或x≥7}，所以∁UA＝{x|3≤x＜7}，又（∁UA）∩B≠∅，则a＞3.

7．设集合I＝

，A⊆I，若把满足M∪A＝I的集合M叫做集合A的配集，则A＝

的配集有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

考点　并集的概念及运算

题点　有限集合的并集运算

解析　M可以是

，共4个．

8．若集合A＝

，则B中元素个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

题点　集合中元素的个数

解析　A＝

，B中元素为A中能整除6的数，∴B＝

二、填空题

9．设全集U＝R，若集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|2≤x≤3}，则A∩（∁UB）＝________.

答案　{1,4}

解析　∵∁UB＝{x|x<

2或x>

3}，

∴A∩（∁UB）＝{1,4}．

10．已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．

题点　由交集运算结果求参数的值

答案　1

解析　∵A∩B＝{1}，A＝{1,2}，

∴1∈B且2∉B.

若a＝1，则a2＋3＝4，符合题意．

又a2＋3≥3≠1，故a＝1.

11．已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<

－1或x>

5}，若A∩B＝∅，则a的取值范围是________．

解析　①若A＝∅，则A∩B＝∅，此时2a>

a＋3，

即a>

3.

②若A≠∅，如图，由A∩B＝∅，可得

解得－

≤a≤2.

综上所述，a的取值范围是

三、解答题

12．（2018·

金华十校期末）设集合A＝{x|a－1<

2a，a∈R}，不等式x2－7x＋6<

0的解集为B.

（1）当a＝0时，求集合A，B；

（2）当A⊆B，求实数a的取值范围．

考点　集合各类问题的综合

题点　集合各类问题的综合

解　

（1）当a＝0时，A＝{x|－1<

0}，

B＝{x|x2－7x＋6<

0}＝{x|1<

6}．

（2）①当a－1≥2a，即a≤－1时，

可得A＝∅，

满足A⊆B，故a≤－1符合题意．

②当a－1<

2a，即a>

－1时，由A⊆B，

可得

解得2≤a≤3.

综上可得a≤－1或2≤a≤3.

∴实数a的取值范围是（－∞，－1]∪[2,3]．

13．（2018·

宁波市期末）已知集合A＝{x|－3≤x≤a}，a∈R，B＝{y|y＝3x＋4，x∈A}，C＝{z|z＝x2，x∈A}．

（1）若a＝0，求A∩B；

（2）若a≥3，且B∪C＝B，求a的取值范围．

解　

（1）由题可得a＝0时，A＝{x|－3≤x≤0}，

B＝{y|－5≤y≤4}．

∴A∩B＝{x|－3≤x≤0}．

（2）∵B∪C＝B，∴C⊆B，B＝{y|－5≤y≤3a＋4}，

当a≥3时，C＝{z|0≤z≤a2}，

∴a2≤3a＋4，－1≤a≤4.

∴3≤a≤4，即a的取值范围为[3,4]．

四、探究与拓展

14．定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－（A－B）可表示下列图中阴影部分的为（　　）

考点　Venn图表达的集合关系及运用

题点　Venn图表达的集合关系

解析　如图所示，A－B表示图中阴影部分，故C－（A－B）所含元素属于C，但不属于图中阴影部分，故选A.

15．对于集合A，B，我们把集合

记作A×

B.例如，A＝

，则有：

A×

B＝

，B×

A＝

，A×

据此，试回答下列问题：

（1）已知C＝

，D＝

，求C×

D；

（2）已知A×

，求集合A，B；

（3）若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，试确