第2章 223直线与平面平行的性质文档格式.docx
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C.不一定有D.有无数个
2.两条直线都和一个平面平行,则这两条直线的位置关系是( )
A.平行B.相交
C.异面D.以上均可能
3.如图,在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的为( )
A.AC⊥BD
B.AC∥截面PQMN
C.AC=BD
D.异面直线PM与BD所成的角为45°
4.如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H,则HG与AB的位置关系是( )
A.平行B.相交
C.异面D.平行和异面
5.直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点,则这n条直线中与直线a平行的直线( )
A.至少有一条B.至多有一条
C.有且只有一条D.没有
6.如图所示,平面α∩β=l1,α∩γ=l2,β∩γ=l3,l1∥l2,下列说法正确的是( )
A.l1平行于l3,且l2平行于l3
B.l1平行于l3,且l2不平行于l3
C.l1不平行于l3,且l2不平行于l3
D.l1不平行于l3,但l2平行于l3
二、填空题
7.设M、n是平面α外的两条直线,给出三个论断:
①M∥n;
②M∥α;
③n∥α.以其中的两个为条件,余下的一个为结论,构造三个命题,写出你认为正确的一个命题:
______________.(用序号表示)
8.如图所示,ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=
,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=________.
9.已知(如图)A、B、C、D四点不共面,且AB∥α,CD∥α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=H,BC∩α=G,则四边形EFHG的形状是______.
三、解答题
10.ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,
求证:
AP∥GH.
11.如图所示,三棱锥A—BCD被一平面所截,截面为平行四边形EFGH.
CD∥平面EFGH.
能力提升
12.如图所示,在空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是四边上的点,它们共面,并且AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,AC=M,BD=n,当四边形EFGH是菱形时,AE∶EB=______.
13.如图所示,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分别为AB、PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l.
(1)求证:
BC∥l;
(2)MN与平面PAD是否平行?
试证明你的结论.
直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定理经常交替使用,也就是通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出新的线线平行,复杂的题目还可继续推下去.可有如下示意图:
.
2.2.3 直线与平面平行的性质答案
知识梳理
过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
(1)
⇒a∥b
(2)直线和直线 平行线
作业设计
1.C 2.D
3.C [∵截面PQMN为正方形,
∴PQ∥MN,PQ∥面DAC.
又∵面ABC∩面ADC=AC,PQ⊂面ABC,∴PQ∥AC,
同理可证QM∥BD.故有选项A、B、D正确,C错误.]
4.A [∵E、F分别是AA1、BB1的中点,∴EF∥AB.
又AB⊄平面EFGH,EF⊂平面EFGH,
∴AB∥平面EFGH.
又AB⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面EFGH=GH,
∴AB∥GH.]
5.B [设这n条直线的交点为P,则点P不在直线a上,那么直线a和点P确定一个平面β,则点P既在平面α内又在平面β内,则平面α与平面β相交,设交线为直线b,则直线b过点P.又直线a∥平面α,则a∥b.很明显这样作出的直线b有且只有一条,那么直线b可能在这n条直线中,也可能不在,即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条.]
6.A [∵l1∥l2,l2⊂γ,l1⊄γ,
∴l1∥γ.
又l1⊂β,β∩γ=l3,
∴l1∥l3
∴l1∥l3∥l2.]
7.①②⇒③(或①③⇒②)
解析 设过M的平面β与α交于l.
∵M∥α,∴M∥l,∵M∥n,∴n∥l,
∵n⊄α,l⊂α,∴n∥α.
8.
a
解析 ∵MN∥平面AC,平面PMN∩平面AC=PQ,
∴MN∥PQ,易知DP=DQ=
,
故PQ=
=
DP=
9.平行四边形
解析 平面ADC∩α=EF,且CD∥α,
得EF∥CD;
同理可证GH∥CD,EG∥AB,FH∥AB.
∴GH∥EF,EG∥FH.
∴四边形EFGH是平行四边形.
10.证明 如图所示,连接AC交BD于O,连接MO,
∵ABCD是平行四边形,
∴O是AC中点,又M是PC的中点,
∴AP∥OM.
根据直线和平面平行的判定定理,
则有PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD=GH,
根据直线和平面平行的性质定理,
∴AP∥GH.
11.证明 ∵四边形EFGH为平行四边形,∴EF∥GH.
又GH⊂平面BCD,EF⊄平面BCD.
∴EF∥平面BCD.
而平面ACD∩平面BCD=CD,EF⊂平面ACD,
∴EF∥CD.
而EF⊂平面EFGH,CD⊄平面EFGH,
∴CD∥平面EFGH.
12.M∶n
解析 ∵AC∥平面EFGH,∴EF∥AC,GH∥AC,
∴EF=HG=M·
,同理EH=FG=n·
∵EFGH是菱形,∴M·
=n·
∴AE∶EB=M∶n.
13.
(1)证明 因为BC∥AD,AD⊂平面PAD,
BC⊄平面PAD,所以BC∥平面PAD.
又平面PAD∩平面PBC=l,BC⊂平面PBC,
所以BC∥l.
(2)解 MN∥平面PAD.
证明如下:
如图所示,取DC的中点Q.
连接MQ、NQ.
因为N为PC中点,
所以NQ∥PD.
因为PD⊂平面PAD,NQ⊄平面PAD,所以NQ∥平面PAD.同理MQ∥平面PAD.
又NQ⊂平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,
NQ∩MQ=Q,所以平面MNQ∥平面PAD.
所以MN∥平面PAD.