圆锥曲线教案对称问题教案太详细文档格式.docx

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生：

P和P′的中点是原点．即x=-x′且y=-y′．

若P和P′关于x轴对称，它们的坐标又怎样呢？

x=x′且y=-y′．

若P和P′关于y轴对称，它们的坐标有什么关系？

y=y′且x=-x′．

若P和P′关于直线y=x对称，它们的坐标又会怎样？

y=x′且x=y′．

它们关于直线y=x对称．

若P与P′关于直线Ax+By+C=0对称，它们在位置上有什么特征？

P和P′必须在直线Ax+By+C=0的两侧．

还有补充吗？

PP′的连线一定与直线Ax+By+C=0垂直．

P与P′在直线Ax+By+C=0的两侧且与直线垂直就能对称了吗？

还需要保证P和P′到直线Ax+By+C=0的距离相等．

P与P′到直线Ax+By+C=0的距离相等的含义是什么？

就是P与P′的中点落在直线Ax+By+C=0上，换句话说P与P′的中点坐标满足直线方程Ax+By+C=0．

下面谁来总结一下，两点P（x，y）、P′（x′，y′）关于直线Ax+By+C=0对称应满足的条件？

应满足两个条件．第一个条件是PP′的连线垂直于直线Ax+By+C=0，第二个条件是P，P′的中点应落在直线Ax+By+C=0上．

这两个条件能否用方程表示呢？

（在黑板上可画出图形（如图2-72），可直观些）

方程组：

这个方程组成立说明了什么？

它能解决什么问题？

方程组中含有x′，y′，也可认为这是一个含x′，y′的二元一次方程组．换句话说，给定一个点P（x，y）和一条定直线Ax+By+C=0，可以求出P点关于直线Ax+By+C=0的对称点P′（x′，y′）的坐标．

今后有很多有关对称问题都可以用此方法处理，很有代表性．但也还有其他方法，大家一起看下面的例题．

例1 

已知直线l1和l2关于直线2x-2y+1=0对称（如图2-73），若l1的方程是3x-2y+1=0，求l2的方程．

（选题目的：

熟悉对称直线方程）

哪位同学有思路请谈谈．

先求出已知两直线的交点，设l2的斜率为k，由两条直线的夹角公式可求出k，再用点斜式求得l2的方程．

（让这位同学在黑板上把解题的过程写出来，大家订正．）

由点斜式，l2的方程为4x-6y+3=0．

还有别的解法吗？

在直线l1上任取一点，求出这点关于2x-2y+1=0对称的点，然后再利用交点，两点式可求出l2的直线方程。

（让这位学生在黑板上把解题过程写出来，如有错误，大家订正．）

解 

由方程组：

在l2上任取一点P（x，y），则P点关于2x-2y+1=0对称的点P′（x′，y′）在l1上，列出P，P′的方程组，解出x′，y′，代入l1问题就解决了．

请你到黑板上把解题过程写出来．

设P（x，y）为l2上的任意一点，

则P点关于直线2x-2y+1=0对称，点P′（x′，y′）在l1上（如图2-75），

又因为P′（x′，y′）在直线l1：

3x-2y+1=0上，

所以3·

x′-2y′+1=0．

即l2的方程为：

4x-6y+3=0．

很好，大家刚才的几种解法是求对称直线方程的常规方法．那么，如果把l1改为曲线，怎样求曲线关于一条直线对称的曲线方程呢？

引申：

已知：

曲线C：

y=x2，求它关于直线x-y-2=0对称的曲线方程．

进一步熟悉对称曲线方程的一般方法．）

例1中的几种解法还都适用吗？

第二种和第三种方法还能适用．

谁来试一试？

可先在y=x2上任取一点P0（x0，y0），它关于直线的对称点P′（x1，y1），可得它们的交点，从中解出x0，y0代入曲线y=x2即可（如图2-76）．

（让学生把他的解法写出来．）

设P0（x0，y0）是曲线C：

y=x2上任意一点，它关于直线x-y-2=0对称的点为P′（x1，y1），因此，连结P0（x0，y0）和P′（x1，y1）两点的直线方程为y-y0=-（x-x0）．

还有不同的方法吗？

用两点关于直线对称的方法也能解决．

把你的解法写在黑板上．

解：

设M（x，y）为所求的曲线上任一点，M0（x0，y0）是M关于直线x-y-2=0对称的点，所以M0定在曲线C：

y=x2上．

代入C的方程可得x=4y2+4y+6．

大家再看一个例子．

点出发射到x轴上后，沿圆的切线方向反射，求这条光线从A点到切点所经过的路程．（如图2-77）

解这题的关键是什么？

关键是找到x轴的交点．

有办法找到交点吗？

没人回答．

交点不好找，那么我们先假设M就是交点，利用交点M对解决这个问题有什么帮助吗？

既然AM是入射光线，MD为反射光线，D为切点，这样入射角就等于反射角，从而能推出∠AMO=∠DMx．

我们要求|AM|+|MD|能解决吗？

可以先找A关于x轴的对称点A′（0，-2），由对称的特征知：

|AM|=|A′M|，这样把求|AM|+|MD|就可以转化为|A′M|+|MD|即|A′D|．

|A′D|怎么求呢？

|A′D|实际上是过A′点到圆切线的长，要求切线长，只需先连结半径CD，再连结A′C，在Rt△A′CD，|CD|和|A′C|都已知，|AD|就可以得到了．（如图2-77）

（让这位学生把解答写在黑板上．）

已知点A关于x轴的对称点为A′（0，-2），所求的路程即为

巧用对称性，化简了计算，很好．哪位同学能把这个题适当改一下，变成另一个题目．

若已知A（0，2），D（4，1）两定点，在x轴上，求一点P，使得|AP|+|PD|为最短．

谁能解答这个问题？

先过A（0，2）关于x轴的对称点A′（0，-2），

连结A′D与x轴相交于点P，P为所求（如图2-78）．

你能保证|AP|+|PD|最短吗？

因为A，A′关于x轴对称，所以|AP|=|A′P|，这时|AP|+|PD|=|A′D|为线段，当P点在x轴其他位置上时，如在P′处，那么，连结AP′、A′P′和P′D．这时|AP′|+|P′D|=|A′P|+|P′D|＞|A′D|．理由（三角形两边之和大于第三边）．所以|A′D|为最短．即P为所求．

这题还能不能再做些变形，使之成为另一个题目？

x轴和圆C上的动点，求|AM|+|MP|的最小值．

哪位同学能够解决？

先作A点关于x轴的对称点A′（0，-2），连结A′和圆心C，A′C交x轴于M点，交圆于P点，这时|AM|+|MP|最小（如图2-79）．

你怎样想到先找A点关于x轴的对称点A′的呢？

由前题的结论可知，把AM线段搬到x轴下方，尽可能使它们成为直线，这样|A′M|+|MP|最小．

很好，大家一起动笔算一算（同时让这位学生上前面书写）．

解A点关于x轴的对称点为A′（0，-2），连A′C交x轴于M，交圆C于P点，因为A′（0，-2），C（6，4），所以|A′C|=

我们一起看下面的问题．

例3 

若抛物线y=a·

x2-1上总存在关于直线x+y=0对称的两点，求a的范围．

这题的思路是什么？

如图2-80，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上关于直线x=-

很好，谁还有不同的解法吗？

曲线y=ax2-1关于直线x+y=0对称曲线方程为：

-x=ay2-1，解方

今天我们讨论了有关点，直线，曲线关于定点，定直线，对称的问题．解决这些问题的关键所在就是牢固掌握灵活运用两点关于定直线对称的思想方法，结合图象利用数形结合思想解决问题．

作业：

1．一个以原点为圆心的圆与圆：

x2+y2+8x-4y=0关于直线l对称，求直线l的方程．

（2x-y+5=0）

2．ABCD是平行四边形，已知点A（-1，3）和C（-3，2），点D在直线x-3y-1=0上移动，则点B的轨迹方程是

______．

（x-3y+20=0）

3．若光线从点A（-3，5）射到直线3x-4y+4=0之后，反射到点B（3，

9），则此光线所经过的路程的长是______．

（12）

4．已知曲线C：

y=-x2+x+2关于点（a，2a）对称的曲线是C′，若C与C′有两个不同的公共点，求a的取值范围．（-2＜a＜1）

设计说明

1．这节课是一节专题习题课，也可以认为是复习题，通过讨论对称问题把有关的知识进行复习，最重要的是充分突出以学生为主体．让学生讨论和发言，就是让学生参加到数学教学中来，使学生兴趣盎然，思维活跃，同时对自己也充满了信心．这样，才有利于发挥学生的主动性，有利于培养学生的独立思考的习惯，发展学生的创造性和思维能力．因此，在数学教学中要有一定的时间让学生充分地发表自己的见解，从而来提高他们的兴趣，发展他们的能力．

2．这节课自始至终贯穿数形结合的数学思想，让学生在脑海里留下一个深刻的印象，就是对称问题，归根结底都可以化成点关于直线的对称问题，即可用方程组去解决．反过来，一直线与一曲线的方程组消元后得到一元二次方程，若这二次方程的判别式大于零，也可得直线与曲线有两个交点，这种从形到数，再由数到形的转化为我们处理解析几何问题带来了便利．在解题时，只有站在一定的高度上去处理问题，思路才能开阔，方法才能灵活，学生的能力才能真正的得到培养，同时水平才能提高得较快．

3．习题课的一个中心就是解题，怎样才能让学生做尽可能少的题，从而让学生掌握通理通法，这是一个值得研究和探讨的问题．本节课采取了让学生把题目进行一题多变，一题多解，从中使学生悟出一些解题办法和规律，从而达到尽可能做少量的题，而达到获取尽可能多的知识、方法和规律的目的，真正提高学生的分析问题、提出问题、解决问题的能力．解决当前学生课业负担过重的问题，根除题海战术给学生带来的危害．

4．本课的例题选择可根据自己所教学生的实际情况，下面几个备用题可供参考．

题目1过圆O：

x2+y2=4与y轴正半轴的交点A作这圆的切线l，M为l上任一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，求点M在直线l上移动时，△MAQ垂心的轨迹方程．

熟练用代入法求动点的轨迹方程，活用平几简化计算．）

如图2-81所示．P为△AMQ的垂心，连OQ，则四边形AOQP为菱形，所以|PQ|=|OA|=2，设P（x1，y1），Q（x0，y0）．于是有x0=x1且

题目2若抛物线y=x2上存在关于直线y=m（x-3）对称的两点，求实数m的取值范围．

（如图2-82）设抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线

结合对称问题，训练反证法的应用．）

此题证法很多．下面给一种证法供参考．

证明 

如图2-83，若P、Q两点关于y=x对称，可设P（a，b）、