届北师大版 空间中的平行与垂直单元测试Word文档格式.docx
《届北师大版 空间中的平行与垂直单元测试Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《届北师大版 空间中的平行与垂直单元测试Word文档格式.docx(24页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
,求该四棱锥的侧面积.
(1)证明 由已知∠BAP=∠CDP=90°
得AB⊥PA,CD⊥PD.
由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.
又AB⊂平面PAB,
所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)解 如图,在平面PAD内作PE⊥AD,垂足为E.
由
(1)知,AB⊥平面PAD,
故AB⊥PE,AB⊥AD,
所以PE⊥平面ABCD.
设AB=x,则由已知可得AD=
x,PE=
x,
故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=
AB·
AD·
PE=
x3.由题设得
x3=
,故x=2.
从而结合已知可得PA=PD=AB=DC=2,
AD=BC=2
,PB=PC=2
可得四棱锥P-ABCD的侧面积为
PA·
PD+
AB+
PD·
DC+
BC2sin60°
=6+2
3.(2017·
龙岩市新罗区校级模拟)如图,O是圆锥底面圆的圆心,圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形,C为底面圆周上一点.
(1)若弧BC的中点为D,求证:
AC∥平面POD;
(2)如果△PAB的面积是9,求此圆锥的表面积.
(1)证明 方法一 设BC∩OD=E,
∵D是弧BC的中点,
∴E是BC的中点.
又∵O是AB的中点,∴AC∥OE.
又∵AC⊄平面POD,OE⊂平面POD,
∴AC∥平面POD.
方法二 ∵AB是底面圆的直径,
∴AC⊥BC.
∵弧BC的中点为D,
∴OD⊥BC.
又AC,OD共面,∴AC∥OD.
又AC⊄平面POD,OD⊂平面POD,
(2)解 设圆锥底面半径为r,高为h,母线长为l,
∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形,
∴h=r,l=
r.
由S△PAB=
×
2r×
h=r2=9,得r=3,
∴S表=πrl+πr2=πr×
r+πr2=9(1+
)π.
4.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,且AB=2CD,在棱AB上是否存在一点F,使平面C1CF∥平面ADD1A1?
若存在,求点F的位置;
若不存在?
请说明理由.
解 存在这样的点F,使平面C1CF∥平面ADD1A1,此时点F为AB的中点,证明如下:
∵AB∥CD,AB=2CD,
∴AF綊CD,
∴四边形AFCD是平行四边形,
∴AD∥CF.
又AD⊂平面ADD1A1,CF⊄平面ADD1A1,
∴CF∥平面ADD1A1.
又CC1∥DD1,CC1⊄平面ADD1A1,
DD1⊂平面ADD1A1,
∴CC1∥平面ADD1A1.
又CC1,CF⊂平面C1CF,CC1∩CF=C,
∴平面C1CF∥平面ADD1A1.
5.如图所示,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.
求证:
(1)AF∥平面BCE;
(2)平面BCE⊥平面CDE.
证明
(1)如图,取CE的中点G,连接FG,BG.
∵F为CD的中点,∴GF∥DE且GF=
DE.
∵AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,
∴AB∥DE,∴GF∥AB.
又AB=
DE,∴GF=AB.
∴四边形GFAB为平行四边形,
∴AF∥BG.
∵AF⊄平面BCE,BG⊂平面BCE,
∴AF∥平面BCE.
(2)∵△ACD为等边三角形,F为CD的中点,
∴AF⊥CD.
∵DE⊥平面ACD,AF⊂平面ACD,∴DE⊥AF.
又CD∩DE=D,故AF⊥平面CDE.
∵BG∥AF,∴BG⊥平面CDE.
∵BG⊂平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE.
6.(2017·
全国Ⅲ)如图,在四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.
AC⊥BD;
(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.
(1)证明 如图,取AC的中点O,连接DO,BO.
因为AD=CD,所以AC⊥DO.
又由于△ABC是正三角形,
所以AC⊥BO.
又DO∩OB=O,
所以AC⊥平面DOB,故AC⊥BD.
(2)解 连接EO.
由
(1)及题设知∠ADC=90°
,所以DO=AO.
在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2.
又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故∠DOB=90°
由题设知△AEC为直角三角形,所以EO=
AC.
又△ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO=
BD.
故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的
,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的
,即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.
7.(2017·
南京一模)如图,在六面体ABCDE中,平面DBC⊥平面ABC,AE⊥平面ABC.
(1)求证:
AE∥平面DBC;
(2)若AB⊥BC,BD⊥CD,求证:
AD⊥DC.
证明
(1)过点D作DO⊥BC,O为垂足.
∵平面DBC⊥平面ABC,平面DBC∩平面ABC=BC,DO⊂平面DBC,
∴DO⊥平面ABC.
又AE⊥平面ABC,则AE∥DO.
又AE⊄平面DBC,DO⊂平面DBC,故AE∥平面DBC.
(2)由
(1)知,DO⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,
∴DO⊥AB.
又AB⊥BC,且DO∩BC=O,DO,BC⊂平面DBC,
∴AB⊥平面DBC.
∵DC⊂平面DBC,
∴AB⊥DC.
又BD⊥CD,AB∩DB=B,AB,DB⊂平面ABD,
则DC⊥平面ABD.
又AD⊂平面ABD,故可得AD⊥DC.
8.已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形,顶点S在底面ABCD上的射影为其中心O,高为
,设E,F分别为AB,SC的中点,且SE=2,M为CD边上的点.
EF∥平面SAD;
(2)试确定点M的位置,使得平面EFM⊥底面ABCD.
(1)证明 取SB的中点P,连接PF,PE.
∵F为SC的中点,
∴PF∥BC,又底面ABCD为正方形,
∴BC∥AD,即PF∥AD,又PE∥SA,
∴平面PFE∥平面SAD.
∵EF⊂平面PFE,
∴EF∥平面SAD.
(2)解 连接AC,AC的中点即为点O,连接SO,
由题意知SO⊥平面ABCD,
取OC的中点H,连接FH,则FH∥SO,
∴FH⊥平面ABCD,
∴平面EFH⊥平面ABCD,连接EH并延长,
则EH与DC的交点即为M点.
连接OE,由题意知SO=
,SE=2.
∴OE=1,AB=2,AE=1,
∴MC=
AE=
CD,
即点M在CD边上靠近C点距离为
的位置.
9.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°
,E,F分别是AP,AD的中点.
(1)直线EF∥平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面PAD.
证明
(1)在△PAD中,∵E,F分别为AP,AD的中点,
∴EF∥PD.
又∵EF⊄平面PCD,PD⊂平面PCD,
∴直线EF∥平面PCD.
(2)如图,连接BD.
∵AB=AD,∠BAD=60°
∴△ADB为正三角形.
∵F是AD的中点,
∴BF⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BF⊂平面ABCD,
∴BF⊥平面PAD.
又∵BF⊂平面BEF,
∴平面BEF⊥平面PAD.
10.(2017·
山东)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.
A1O∥平面B1CD1;
(2)设M是OD的中点,证明:
平面A1EM⊥平面B1CD1.
证明
(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,
由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,
所以A1O1∥OC,A1O1=OC,
因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C.
又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,
所以A1O∥平面B1CD1.
(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,
所以EM⊥BD,
又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
所以A1E⊥BD.
因为B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1.
又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,
所以B1D1⊥平面A1EM.
又B1D1⊂平面B1CD1,
所以平面A1EM⊥平面B1CD1.
11.(2017·
汉中二模)如图,在棱长均为4的三棱柱ABC-A1B1C1中,D,D1分别是BC和B1C1的中点.
A1D1∥平面AB1D;
(2)若平面ABC⊥平面BCC1B1,∠B1BC=60°
,求三棱锥B1-ABC的体积.
(1)证明 连接DD1,在三棱柱ABC-A1B1C1中,
∵D,D1分别是BC和B1C1的中点,
∴B1D1∥BD,且B1D1=BD,
∴四边形B1BDD1为平行四边形,
∴BB1∥DD1,且BB1=DD1.
又∵AA1∥BB1,AA1=BB1,
∴AA1∥DD1,AA1=DD1,
∴四边形AA1D1D为平行四边形,
∴A1D1∥AD.
又∵A1D1⊄平面AB1D,AD⊂平面AB1D,
∴A1D1∥平面AB1D.
(2)解 在△ABC中,边长均为4,则AB=AC,D为BC的中点,
∴AD⊥BC.
∵平面ABC⊥平面B1C1CB,交线为BC,AD⊂平面ABC,
∴AD⊥平面B1C1CB,即AD是三棱锥A-B1BC的高.
在△ABC中,由AB=AC=BC=4,得AD=2
在△B1BC中,B1B=BC=4,∠B1BC=60°
∴△B1BC的面积为4
∴三棱锥B1-ABC的体积即为三棱锥A-B1BC的体积V=
4
2
=8.
12.如图,在四棱锥S-ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD.四边形ABCD为正方形,且P为AD的中点,Q为SB的中点.
CD⊥平面SAD;
(2)求证:
PQ∥平面SCD;
(3)若SA=SD,M为BC的中点,在棱SC上是否存在点N,使得平面DMN⊥平面ABCD?
并证明你的结论.
(1)证明 ∵四边形ABCD为正方形,
∴CD⊥AD.
又∵平面SAD⊥平面ABCD,且平面SAD∩平面ABCD=AD,CD⊂平面ABCD,
∴CD⊥平面SAD.