单调队列在信息竞赛的研究与应用Word文档下载推荐.docx
《单调队列在信息竞赛的研究与应用Word文档下载推荐.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《单调队列在信息竞赛的研究与应用Word文档下载推荐.docx(27页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![单调队列在信息竞赛的研究与应用Word文档下载推荐.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2022-11/15/8d476ad0-c89f-4e4e-926c-d25da42a380c/8d476ad0-c89f-4e4e-926c-d25da42a380c1.gif)
(实际操作中,由于是按序逐个出队,所以每次只需要出队只需要比较队头)。
每个元素最多进队一次,出队一次,摊排分析下来仍然是O
(1)。
上面的话可能还是没能讲出单调队列的核心:
队列并不实际存在的,实际存在的是具有单调性的子序列。
对这个子序列按心中的队列进行操作,譬如在进队时丢弃的元素,虽然它不存在于这个子序列里,但是还是认为他存在于队列里。
poj2823是一个典型的单调队列题,不过因为题目要求中大量的输入输出的使得时间要求竟然卡scanf和printf的字符串解析(直接实现要5000ms),害得我极其猥琐的手动输入输出解析(800+ms),真是不爽。
另外进队的顺序和出队的顺序并不一定相同,因为这个队列本身是隐含存在的,可以在进队时看成一个队列,出队时看成另一个队列,只要出队的元素在队列中就行。
可以想象成一个队列只有头和身,另一个队列只有身和尾,而这身是共用的。
在信息学竞赛的一些应用
先介绍单调队列
做动态规划时常常会见到形如这样的转移方程:
f[x]=maxormin{g(k)|b[x]<
=k<
x}+w[x]
(其中b[x]随x单调不降,即b[1]<
=b[2]<
=b[3]<
=...<
=b[n])
(g[k]表示一个和k或f[k]有关的函数,w[x]表示一个和x有关的函数)
这个方程怎样求解呢?
我们注意到这样一个性质:
如果存在两个数j,k,使得j<
=k,而且g(k)<
=g(j),则决策j是毫无用处的。
因为根据b[x]单调的特性,如果j可以作为合法决策,那么k一定可以作为合法决策,又因为k比j要优,(注意:
在这个经典模型中,“优”是绝对的,是与当前正在计算的状态无关的),所以说,如果把待决策表中的决策按照k排序的话,则g(k)必然是不降的。
这样,就引导我们使用一个单调队列来维护决策表。
对于每一个状态f(x)来说,计算过程分为以下几步:
1、队首元素出队,直到队首元素在给定的范围中。
2、此时,队首元素就是状态f(x)的最优决策,
3、计算g(x),并将其插入到单调队列的尾部,同时维持队列的单调性(不断地出队,直到队列单调为止)。
重复上述步骤直到所有的函数值均被计算出来。
不难看出这样的算法均摊时间复杂度是O
(1)的。
因此求解f(x)的时间复杂度从O(n^2)降到了O(n)。
单调队列指一个队列中的所有的数符合单调性(单调增或单调减),在信息学竞赛的一些题目上应用,会减少时间复杂度
编辑本段例题:
广告印刷(ad.pas/c/cpp)
【问题描述】
最近,afy决定给TOJ印刷广告,广告牌是刷在城市的建筑物上的,城市里有紧靠着的N个建筑。
afy决定在上面找一块尽可能大的矩形放置广告牌。
我们假设每个建筑物都有一个高度,从左到右给出每个建筑物的高度H1,H2…HN,且0<
Hi<
=1,000,000,000,并且我们假设每个建筑物的宽度均为1。
要求输出广告牌的最大面积。
【输入文件】
中的第一行是一个数n(n<
=400,000)
第二行是n个数,分别表示每个建筑物高度H1,H2…HN,且0<
=1,000,000,000。
【输出文件】
输出文件ad.out中一共有一行,表示广告牌的最大面积。
【输入样例】
6
584484
【输出样例】
24
【解释】各个测试点一秒,
但就这道题来说,n<
=400,000,我们如果用枚举不会过全部数据,我们应设计出o(n)的算法来解决,这是单调队列就可以派上用场了。
具体做法是先正着扫一遍,再倒着扫一遍,找到每一个数的右极限与左极限,最后找出最大值。
代码:
programbensen;
var
temp,ans:
int64;
n,p,q,i,j:
longint;
a:
array[0..400000]oflongint;
b,r,l:
begin
readln(n);
fori:
=1tondo
read(a[i]);
p:
=1;
q:
=0;
=1ton+1do
while(p<
=q)and(a[i]<
a[b[q]])do
r[b[q]]:
=i;
dec(q);
end;
inc(q);
b[q]:
fillchar(b,sizeof(b),0);
=ndownto0do
l[b[q]]:
temp:
=(r[i]-l[i]-1)*a[i];
iftemp>
ansthenans:
=temp;
writeln(ans);
end.
单调队列及其应用
关键字
队列,合并果子,窗户,广告印刷,最长XX子序列,志愿者选拔,动态规划,烽火传递
正文
单调队列,望文生义,就是指队列中的元素是单调的。
如:
{a1,a2,a3,a4……an}满足a1<
=a2<
=a3……<
=an,a序列便是单调递增序列。
同理递减队列也是存在的。
单调队列的出现可以简化问题,队首元素便是最大(小)值,这样,选取最大(小)值的复杂度便为o
(1),由于队列的性质,每个元素入队一次,出队一次,维护队列的复杂度均摊下来便是o
(1)。
如何维护单调队列呢,以单调递增序列为例:
1、如果队列的长度一定,先判断队首元素是否在规定范围内,如果超范围则增长对首。
2、每次加入元素时和队尾比较,如果当前元素小于队尾且队列非空,则减小尾指针,队尾元素依次出队,直到满足队列的调性为止
要特别注意头指针和尾指针的应用。
下面介绍单调队列的具体应用:
一、单调队列的直接应用
1.合并果子
【问题描述】
在一个果园里,多多已经将所有的果子打了下来,而且按果子的不同种类分成了不同的堆。
多多决定把所有的果子合成一堆。
每一次合并,多多可以把两堆果子合并到一起,消耗的体力等于两堆果子的重量之和。
可以看出,所有的果子经过n-1次合并之后,就只剩下一堆了。
多多在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。
因为还要花大力气把这些果子搬回家,所以多多在合并果子时要尽可能地节省体力。
假定每个果子重量都为1,并且已知果子的种类数和每种果子的数目,你的任务是设计出合并的次序方案,使多多耗费的体力最少,并输出这个最小的体力耗费值。
例如有3种果子,数目依次为1,2,9。
可以先将
1、2堆合并,新堆数目为3,耗费体力为3。
接着,将新堆与原先的第三堆合并,又得到新的堆,数目为12,耗费体力为
12。
所以多多总共耗费体力=3+12=15。
可以证明15为最小的体力耗费值。
【输入文件】
输入文件fruit.in包括两行,第一行是一个整数n(1<
=n<
=10000),表示果子的种类数。
第二行包含n个整数,用空格分隔,第i个整数ai(1<
=ai<
=20000)是第i种果子的数目。
【输出文件】
输出文件fruit.out包括一行,这一行只包含一个整数,也就是最小的体力耗费值。
输入数据保证这个值小于231。
【样例输入】
3
129
【样例输出】
15
【数据规模】
对于30%的数据,保证有n<
=1000;
对于50%的数据,保证有n<
=5000;
对于全部的数据,保证有n<
=10000。
分析:
这个题目非常的经典,发放也很多,可以采用快排或者堆,其思想都是选取当前最小的两个堆进行合并。
复杂度均为O(nlogn),如果用有序队列维护,时间复杂度为O(n)。
每次选取进行合并的两堆,不是最先给定的堆,就是合并最初堆若干次后得到的新堆,所以需要维护两个单调递增队列,一个队列存最初给定的堆的值
(1),一个存合并后得到的新值
(2)。
每次选择时有三种状态:
1、
选取队一的队首两个
2、选取队2的的队首两个
3、选取二者队首各一个
只需对每个队列的指针做相应的更改。
特别注意初始化。
这道题很好的运用了题目中决策的单调性,对初始对经行排序,保证了其单调性。
而对于新产生的堆来说,一旦有新元素加入其中,则新元素一定大于原有元素。
(很显然,由于队列1的单调性)。
也就是说,队列的单调性是自然而然的。
是不需要维护的。
要善于观察分析,才能发现。
Code
programliukee;
var
a,b:
array[1..100000]oflongint;
h1,h2,t2,temp,n,i,ans:
functionmin(a,b,c:
longint):
begin
ifa<
bthenmin:
=a
elsemin:
=b;
ifc<
minthenmin:
=c;
end;
proceduresort(l,r:
longint);
i,j,mid,temp:
i:
=l;
j:
=r;
mid:
=a[l+random(r-l)];
//随机化排序
repeat
whilea[i]<
middoinc(i);
whilea[j]>
middodec(j);
ifi<
=jthen
temp:
=a[i];
a[i]:
=a[j];
a[j]:
inc(i);
dec(j);
untili>
j;
rthen