天津市南开中学届高三模拟考试数学理试题 含答案 精品Word文件下载.docx

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C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件

7.过双曲线的左焦点，作圆的切线交双曲线右支于点，切点为，的中点在第一象限，则以下结论正确的是（）

A．B．

C.D．

8.设，，且为偶函数，为奇函数，若存在实数，当时，不等式成立，则的最小值为（）

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）

9.随机抽取100名年龄在年龄段的市民进行问卷调査，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在年龄段抽取的人数为．

10.已知，则的展开式中常数项为．

11.一个几何体的三视图如图所示（单位：

），则该几何体的体积为.

12.已知抛物线的参数方程为（为参数），其中，焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为.若，点的横坐标为3，则．

13.平行四边形中，，是平行四边形内一点，且，若，则的最大值为．

14.用五种不同的颜色给三棱柱六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有种.（用数字作答）

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.已知函数的图象经过点.

（1）求的值，并求函数的单调递增区间；

（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

16.现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：

每个人通过掷一枚质地均的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.

（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

（2）用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.

17.如图所示，四边形是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为.

（1）求证：

平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）设点是线段上的一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.

18.已知数列是首项的等差数列，设.

是等比数列；

（2）记，求数列的前项和；

（3）在

（2）的条件下，记，若对任意正整数，不等式恒成立，求整数的最大值.

19.在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为,直线被椭圆截得的线段长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴轴分别交于两点.

①设直线斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；

②求面积的最大值.

20.已知，其中常数.

（1）当时，求函数的极值；

（2）若函数有两个零点，求证：

；

（3）求证：

.

试卷答案

一、选择题

1-5:

BACAD6-8:

BAA

二、填空题

9.210.11.12.2

13.214.1920

三、解答题

15.

（1）

因为经过点，所以，，

因为的单调递增区间为

所以

所以

所以的单调递增区间为.

（2）由

（1）知，

因为，所以，

当，即时，，

因为恒成立即，所以所.

16.

（1）依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的槪率为，去参加乙游戏的概率为.

设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件，则

这4个人中恰有2人去参加甲游戏的槪率

（2）的所有可能取值为0,2,4.

由于与互斥，与互斥，所以

，，

所以的分布列是

所以随机变量的数学期望.

17.

（1）因为平面,所以.因为四边形是正方形.

所以.又,所以平面.

（2）因为两两垂直，

故以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.

因为与平面所成角为，即，

所以，由可知，

则

所以.

设平面的法向量为，则，

即，令，则，即.

因为平面，所以平面的法向量为，

又因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

（3）点是线段上一个三等分点.证明如下:

设，则，

因为平面，

所以，即，解得，

所以点坐标为，即.

18.

（1）由及，得，所以.

因为，所以，即.

则，所以数列是首项，公比的等比数列.

（2）由

（1），得，所以

（3）因为，

则问题转化为对任意正整数使不等式恒成立.

设，则

所以，故的最小值是/.

由，得整数可取最大值为11.

19.

（1）因为，所以，即,,所以，

设直线与椭圆交于两点.不妨设点为直线和椭圆在第一象限的交点，

又因为弦长为，所以，所以，可得，

解得，所以椭圆方程为.

（2）①设，，则，

直线的斜率，又，故直线的斜率，

设直线的方程为，由题意知.

由可得

所以，

由题意知，所以，

所以直线的方程为，

令，得，即，可得，

所以，即.因此存在常数使结论成立.

②直线的方程为，

令，得，即

由①知，可得的面积，

因为，

当且仅当时等号成立，

此时取得最大值，所以面积的最大值为.

20.

（1）函数的定义域为，

当时，，，

而在上单调递增，又，

当时，，则在上单调递减；

当时，，则在上单调递增.

所以有极小值，没有极大值.

（2）先证明：

当恒成立时，有成立.

若，则显然成立；

若，由得，令，则，

令，由得在上单调递增，

又因为.所以在上为负，在为正，

因此在上递减，在上递增，所以，从而.

因而函数若有两个零点，则，所以，

由得，则.

所以在上单调递增，所以

所以在上单调递增，所以，则，所以，

由得，则，所以，

综上得.

（3）由

（2）知当时，恒成立，所以，

即.

当时，，所以在上单调递增；

当时，，则在上单调递减.

所以的最大值为，即，因而，

所以，即.