版高中数学必修二同步讲义人教A版第四章圆与方程431Word版含答案Word下载.docx

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（2）右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．

（3）空间一点的坐标

空间一点M的坐标可以用有序实数组（x，y，z）来表示，有序实数组（x，y，z）叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M（x，y，z），其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．

类型一　确定空间中点的坐标

例1　已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为5

，侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标．

解　因为|PO|＝

＝

＝12，

所以各顶点的坐标分别为P（0,0,12），

A

，B

，

C

，D

.

引申探究

1．若本例中的正四棱锥建立如图所示的空间直角坐标系，试写出各顶点的坐标．

解　各顶点的坐标分别为P（0,0,12），A（5,0,0），B（0,5,0），C（－5,0,0），D（0，－5,0）．

2．若本例中的条件变为“正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10”，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．

解　因为正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，所以正四棱锥的高为2

，以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A（2，－2,0），B（2,2,0），C（－2,2,0），D（－2，－2,0），P（0,0,2

）．

反思与感悟　

（1）建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则

①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上．

②充分利用几何图形的对称性．

（2）求某点M的坐标的方法

作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点坐标（x，y，z）．

（3）坐标平面上的点的坐标特征

xOy平面上的点的竖坐标为0，即（x，y,0）．

yOz平面上的点的横坐标为0，即（0，y，z）．

xOz平面上的点的纵坐标为0，即（x,0，z）．

（4）坐标轴上的点的坐标特征

x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即（x,0,0）．

y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即（0，y,0）．

z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即（0,0，z）．

跟踪训练1　在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且|CG|＝

|CD|，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E、F、G、H的坐标．

解　建立如图所示的空间直角坐标系．

点E在z轴上，它的横坐标x、纵坐标y均为0，而E为DD1的中点，故E点坐标为（0,0，

过F作FM⊥AD、FN⊥DC，由平面几何知识，得|FM|＝

，|FN|＝

，故F点坐标为（

，0）．

点G在y轴上，其横坐标x、竖坐标z均为0，又|GD|＝

，故G点坐标为（0，

过H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点，故K为CG的中点，故点H的坐标为（0，

类型二　已知点的坐标确定点的位置

例2　在空间直角坐标系Oxyz中，作出点P（5,4,6）．

解　方法一　

第一步：

从原点出发沿x轴正方向移动5个单位．第二步：

沿与y轴平行的方向向右移动4个单位．第三步：

沿与z轴平行的方向向上移动6个单位（如图所示），即得点P.

方法二　以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上，且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.

反思与感悟　已知点P的坐标确定其位置的方法

（1）利用平移点的方法，将原点按坐标轴方向三次平移得点P.

（2）构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置．

（3）通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点P.

跟踪训练2　点（2,0,3）在空间直角坐标系中的（　　）

A．y轴上B．xOy平面上

C．xOz平面上D．yOz平面上

答案　C

解析　∵点（2,0,3）的纵坐标为0，∴此点是xOz平面上的点，故选C.

类型三　空间中点的对称问题

例3　

（1）在空间直角坐标系中，点P（－2,1,4）关于点M（2，－1，－4）对称的点P3的坐标是（　　）

A．（0,0,0）B．（2，－1，－4）

C．（6，－3，－12）D．（－2,3,12）

（2）已知点A（－3,1，－4），则点A关于x轴的对称点的坐标为（　　）

A．（－3，－1,4）B．（－3，－1，－4）

C．（3,1,4）D．（3，－1，－4）

答案　

（1）C　

（2）A

解析　

（1）根据题意知，M为线段PP3的中点，设P3（x，y，z），由中点坐标公式，可得x＝2×

2－（－2）＝6，y＝2×

（－1）－1＝－3，z＝2×

（－4）－4＝－12，∴P3（6，－3，－12）．故选C.

（2）∵在空间直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，又点A（－3,1，－4），∴点A关于x轴对称的点的坐标是（－3，－1,4）．故选A.

反思与感悟　

（1）利用线段中点的坐标公式可解决关于点的对称问题．

（2）解决关于线对称问题的关键是关于“谁”对称，“谁”不变，如本例

（2）中点A关于x轴对称，则对称点的横坐标不变，纵、竖坐标都变为其相反数．

跟踪训练3　在空间直角坐标系中，P（2,3,4），Q（－2,3，－4）两点的位置关于______对称．

答案　y轴

例4　在空间直角坐标系中，点P（1,3，－5）关于平面xOy对称的点的坐标是（　　）

A．（－1,3，－5）B．（1，－3,5）

C．（1,3,5）D．（－1，－3,5）

解析　∵两点关于平面xOy对称，则横坐标相同，纵坐标相同，竖坐标互为相反数，∴点P（1,3，－5）关于平面xOy对称的点的坐标是（1,3,5）．故选C.

反思与感悟　本题易错点是把关于平面对称与关于线对称搞混，破解此类题关键是关于“谁”对称，“谁”不变，如本题，点P关于平面xOy对称，则对称点的横、纵坐标不变，竖坐标变为其相反数．

跟踪训练4　点（1，a，b）关于平面xOy及x轴的对称点的坐标分别是（1,2，c）和（d，－2，－3），则a，b，c，d的值分别是________．

答案　2,3，－3,1

1．点P（a，b，c）到坐标平面xOy的距离是（　　）

A.

B．|a|

C．|b|D．|c|

答案　D

解析　点P在xOy平面的射影的坐标是P′（a，b,0），所以|PP′|＝|c|.

2．以棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线的交点坐标为（　　）

A．（0，

）B．（

，0，

）

C．（

，0）D．（

答案　B

解析　由题图得A（0,0,0），B1（1,0,1），

所以对角线的交点即为AB1的中点，

由中点坐标公式，可得对角线的交点坐标为（

3．如图所示，点P′在x轴的正半轴上，且|OP′|＝2，点P在xOz平面内，且垂直于x轴，|PP′|＝1，则点P的坐标是________．

答案　（2,0,1）

4．点P（1,1,1）关于xOy平面的对称点P1的坐标为______；

点P1关于z轴的对称点P2的坐标为________．

答案　（1,1，－1）　（－1，－1,1）

解析　点P（1,1,1）关于xOy平面的对称点P1的坐标为（1,1，－1），点P1关于z轴的对称点P2的坐标为（－1，－1,1）．

5．如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1（底面为正方形的直棱柱）中，|AA1|＝2|AB|＝4，点E在CC1上且|C1E|＝3|EC|.试建立适当的坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标．

解　以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.

依题设知，B（2,2,0），C（0,2,0），E（0,2,1），A1（2,0,4）．

1．空间中确定点M的坐标的三种方法

（1）过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的横坐标和纵坐标，再由射线M1M的指向和线段MM1的长度确定竖坐标．

（2）构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标．

（3）若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标．

2．求空间对称点的规律方法

（1）空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．

（2）对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．

课时作业

一、选择题

1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是（　　）

A．（1,0,0）B．（1,0,1）C．（1,1,1）D．（1,1,0）

解析　点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为（1,1,1），故选C.

2．在空间直角坐标系中，已知点P（1，

），过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为（　　）

，0）B．（0，

C．（1,0，

）D．（1，

，0）

3．在空间直角坐标系中，P（2,3,4）、Q（－2，－3，－4）两点的位置关系是（　　）

A．关于x轴对称

B．关于yOz平面对称

C．关于坐标原点对称

D．以上都不对

解析　当三个坐标均相反时，两点关于原点对称．

4．若点P（－4，－2,3）关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是（a，b，c），（e，f，d），则c与e的和为（　　）

A．7B．－7C．－1D．1

解析　∵点P（－4，－2,3）关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别为（－4，－2，－3），（4，－2，－3），

∴c＝－3，e＝4，则c＋e＝1.

5．设y∈R，则点P（1，y,2）的集合为（　　）

A．垂直于xOz平面的一条直线

B．平行于xOz平面的一条直线

C．垂直于y轴的一个平面

D．平行于y轴的一个平面

答案　A

解析　点P（1，y,2）的集合为横、竖坐标不变，而纵坐标变化的点的集合，由空间直角坐标的意义知，点P（1，y,2）的集合为垂直于xOz平面的