两角和差正余弦公式的证明.docx

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两角和差正余弦公式的证明

两角和差正余弦公式的证明

两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。

下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。

由角,的三角函数值表示的正弦或余弦值,这正是两角和差的正余弦公式的功能。

换言之,要推导两角和差的正余弦公式,就是希望能得到一个等式或方程,将或与,的三角函数联系起来。

根据诱导公式,由角的三角函数可以得到的三角函数。

因此,由和角公式容易得到对应的差角公式,也可以由差角公式得到对应的和角公式。

又因为,即原角的余弦等于其余角的正弦,据此,可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。

因此,只要解决这组公式中的一个,其余的公式将很容易得到。

（一）在单位圆的框架下推导和差角余弦公式

注意到单位圆比较容易表示,和,而且角的终边与单位圆的交点坐标可以用三角函数值表示,因此,我们可以用单位圆来构造联系与,的三角函数值的等式。

1.和角余弦公式

（方法1）如图所示,在直角坐标系中作单位圆,并作角,和,使角的始边为,交于点A,终边交于点B；角始边为,终边交于点C；角始边为,终边交于点。

从而点A,B,C和D的坐标分别为,,,。

由两点间距离公式得

；

。

注意到,因此。

注记：

这是教材上给出的经典证法。

它借助单位圆的框架,利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段,从而得到我们所要的等式。

注意,公式中的和为任意角。

2.差角余弦公式

仍然在单位圆的框架下,用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段,也可以得到我们希望的三角等式。

这就是

（方法2）如图所示,在坐标系中作单位圆,并作角和,使角和的始边均为,交于点C,角终边交于点A,角终边交于点。

从而点A,B的坐标为,。

由两点间距离公式得

。

由余弦定理得

。

从而有。

注记：

方法2中用到了余弦定理,它依赖于是三角形的内角。

因此,还需要补充讨论角和的终边共线,以及大于的情形。

容易验证,公式在以上情形中依然成立。

在上边的证明中,用余弦定理计算的过程也可以用勾股定理来进行。

也可以用向量法来证明。

（二）在三角形的框架下推导和差角正弦公式

除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式,还可以在三角形中构造和角或差角来证明和差角的正弦公式。

1.和角正弦公式

（一）

（方法3）如图所示,为的边上的高,为边上的高。

设,,,则。

从而有

,

。

因此,

。

注意到,

从而有：

整理可得：

。

注记：

在方法3中,用和与底角,相关的三角函数,从两个角度来表示边上高,从而得到所希望的等式关系。

这一证明所用的图形是基于钝角三角形的,对基于直角或锐角三角形的情形,证明过程类似。

利用方法3中的图形,我们用类似于恒等变形的方式,可以得到下面的

（方法4）如图所示,为的边上的高,为边上的高。

设,,则。

注意到,则有,即。

从而有。

利用正弦定理和射影定理,将得到下面这个非常简洁的证法。

注意证明利用的图形框架与方法3,4所用的图形框架是相同的。

（方法5）如图所示,为的边上的高。

设,,则有,。

由正弦定理可得

其中d为的外接圆直径。

由得,

从而有

。

2.和角正弦公式

（二）

方法3,4和5利用的图形框架是将角,放在三角形的两个底角上。

如果将这两个角的和作为三角形的一个内角,将会有下面的几种证法（方法6~11）。

（方法6）如图所示,作于D,交外接圆于E,连和。

设,,则,,。

设的外接圆直径为d,则有,

,。

所以有。

注意到,从而。

（方法7）如图所示,为的边上的高,为边上的高。

设,,则。

设,则

,,,。

又

从而。

整理可得。

（方法8）如图所示,作于D,过D作于F,于G。

设,,则,设,从而,,,。

所以。

注意到,则有

。

注记：

我们用两种不同的方法计算,得到了和角的正弦公式。

如果我们用两种方法来计算,则可以得到和角的余弦公式。

由上图可得

从而有。

注意到,从而可得。

方法6,7和8都是用角,的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段,从而构造出我们所希望的等式关系。

（方法9）如图所示,设为的边上的高。

设,,,,从而有

方法9利用面积关系构造三角恒等式。

下面这两个证法的思路则有所不同。

（方法10）如图所示,设为的外接圆直径d,长度为d。

设,,则,从而

注记：

这一证明用到了托勒密定理：

若和是圆内接四边形的对角线,则有。

（方法11）如图所示,为的边上的高。

设,,则。

设,则

方法10和11将某一线段作为基本量,利用与角,相关的三角函数表示其它线段,再通过联系这些线段的几何定理（托勒密定理或正弦定理）,构造出我们希望的等式关系。

3.差角正弦公式

仍然还是在三角形中,我们可以在三角形的内角里构造出差角来。

方法12和13便是用这种想法来证明的。

（方法12）如图所示,。

设,,记,作于E,则,,从而有

（方法13）如图所示,为的外接圆直径,长度为d。

设,,则,。

从而

方法12和13的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段,借此来构造等式关系。

很显然,在这十二种证法中,方法1和2更具普遍性。

换言之,这两种方法中出现的角,是任意角。

而其余方法中,角和则有一定的限制,它们都是三角形的内角（甚至都是锐角）。

因此,对于方法3~13,我们需要将我们的结果推广到角和是任意角的情形。

具体而言,我们要证明：

如果公式对任意成立,则对任意角也成立。

容易验证,角和中至少有一个是轴上角（即终边在坐标轴上的角）,我们的公式是成立的。

下面证明,角和都是象限角（即终边在坐标系的某一象限中的角）时,我们的公式也成立。

不妨设为第二象限角,为第三象限角,从而有

从而

同理可证,公式对于象限角和的其它组合方式都成立。

因此,我们可以将方法3~13推导的公式推广到角,是任意角的情形。

两角和差的正余弦公式是三角学中很基本的一组公式。

其推导证明对指导学生进行探究性学习很有帮助。

从上文中可以看到,这一探究过程可分为四个步骤：

（1）明确推导证明的目标：

构造联系和三角函数与或的等式或方程；

（2）简化课题：

四个公式只要解决一个,其余的都可由它推出；

（3）解决问题：

利用单位圆或三角形作为联系和三角函数与或的工具,寻找我们希望的等式关系；

（4）完善解决问题的方法：

考察方法是否有普遍性。

如果普遍性有欠缺,可考虑将其化归为已解决的情形,必要时还要进行分类讨论。