相似三角形性质与运用Word下载.doc

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∴△DBE∽△ABC

例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？

请证明你的结论。

分析：

本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？

下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：

（1）如图：

称为“平行线型”的相似三角形

（2）如图：

其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。

（3）如图：

∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△ECA

解：

设AB=a，则BE=EF=FC=3a，

由勾股定理可求得AE=，

在△EAF与△ECA中，∠AEF为公共角，且

所以△EAF∽△ECA（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）

二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式

例1、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：

DFAC=BCFE

过D点作DK∥AB，交BC于K，∵DK∥AB，∴DF：

FE=BK：

BE又∵AD=BE，∴DF：

AD，而BK：

AD=BC：

AC即DF：

FE=BC：

AC，∴DFAC=BCFE

例2：

已知：

如图，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。

求证：

（1）MA2=MDME；

（2）

（1）∵∠BAC=900，M是BC的中点，∴MA=MC，∠1=∠C，

∵DM⊥BC，∴∠C=∠D=900-∠B，∴∠1=∠D，∵∠2=∠2∴△MAE∽△MDA，∴，∴MA2=MDME，

（2）∵△MAE∽△MDA，

∴，∴

命题1如图，如果∠1=∠2，那么△ABD∽△ACB，AB2=ADAC。

命题2如图，如果AB2=ADAC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。

如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：

AE：

ED=2AF：

FB。

图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。

怎样作？

观察要证明的结论，紧紧扣住结论中“AE：

ED”的特征，作DG∥BA交CF于G，得△AEF∽△DEG，。

与结论相比较，显然问题转化为证。

过D点作DG∥AB交FC于G

则△AEF∽△DEG。

（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似）

（1）∵D为BC的中点，且DG∥BF∴G为FC的中点则DG为△CBF的中位线，

（2）

将

（2）代入

（1）得：

三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。

例1：

如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且。

∠AEF=∠FBD

作FG⊥BD，垂足为G。

设AB=AD=3k

则BE=AF=k，AE=DF=2k，

BD=

∵∠ADB=450，∠FGD=900

∴∠DFG=450

∴DG=FG=

∴BG=

∴

又∠A=∠FGB=900

∴△AEF∽△GBF∴∠AEF=∠FBD

例2、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线，

SQ∥AB，RP∥BC

要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件，故可考虑用比例线段去证明。

利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标，选择适当的比例线段。

要证明SQ∥AB，只需证明AR：

AS=BR：

DS。

证明：

在△ADS和△ARB中。

∵∠DAR=∠RAB=∠DAB，∠DCP=∠PCB=∠ABC∴△ADS∽△ABR但△ADS≌△CBQ，∴DS=BQ，则，∴SQ∥AB，同理可证，RP∥BC

例3、已知A、C、E和B、F、D分别是∠O的两边上的点，且

AB∥ED，BC∥FE，求证：

AF∥CD

要证明AF∥CD，已知条件中有平行的条件，因而有好多的比例线段可供利用，这就要进行正确的选择。

其实要证明AF∥CD，只要证明即可，因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。

∵AB∥ED，BC∥FE∴，∴两式相乘可得：

例4、直角三角形ABC中，∠ACB=90°

，BCDE是正方形，AE交BC于F，FG∥AC交AB于G，求证：

FC=FG

要证明FC=FG，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用比例线段来证明。

要证明FC=FG，首先要找出与FC、FG相关的比例线段，图中与FC、FG相关的比例式较多，则应选择与FC、FG都有联系的比作为过渡，最终必须得到（“？

”代表相同的线段或相等的线段），便可完成证明。

∵FG∥AC∥BE，∴△ABE∽△AGF则有而FC∥DE∴△AED∽△AFC

则有∴又∵BE=DE（正方形的边长相等）∴，即GF=CF。

例5、Rt△ABC锐角C的平分线交AB于E，交斜边上的高AD于O，过O引BC的平行线交AB于F，

AE=BF

∵CO平分∠C，∠2=∠3，

故Rt△CAE∽Rt△CDO，∴

又OF∥BC，∴

又∵Rt△ABD∽Rt△CAD，∴，即∴AE=BF。

1. 如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=            

AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（  ）            

连接BD∵F、E分别为AD、AB中点，∴EF=BD，EF∥BD，

∴△AEF∽△ABD，∴==，∴△AEF的面积：

四边形EFDB的面积=1：

3，

∵CD=AB，CB⊥DC，AB∥CD，∴==，

∴△AEF与多边形BCDFE的面积之比为1：

（3+2）=1：

5

 2.如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是 （    ） 

利用AB∥EF∥CD得到△ABE∽△DCE，得到，△BEF∽△BCD得到，

3.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：

S△CDE=1：

3，则S△DOE：

S△AOC的值为（  ）

∵S△BDE：

3，∴BE：

EC=1：

3；

∴BE：

BC=1：

4；

∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，∴=，

∴S△DOE：

S△AOC==，

4. 如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°

，AC=10．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积是__________．

∵在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，∵AB=BC，AC=10．∴2AB2=200，∴AB=BC=10，设EF=x，则AF=10﹣x∵EF∥BC，

∴△AFE∽△ABC∴=，即=，∴x=5，∴EF=5，∴此正方形的面积为5×

5=25．

5.如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则_________.

如图，连接ED，由BD，CE分别是边AC，AB上的中线可知BD是△ABC的中位线，因此可得ED=BC，ED∥BC，由平行线可证得△OED∽△COD，因此可得=2.

6.如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：

△ABD∽△CBE．

在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°

，又∵∠B=∠B，

∴△ABD∽△CBE．

7. 如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（  ）

首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：

△ACD的面积：

△ABC的面积为1：

4，因为△ABD的面积为a，进而求出△ACD的面积

8.如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：

S△ABF=4：

25，则DE：

EC=（  ）

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF∵S△DEF：

25，

∴DE：

AB=2：

5，∵AB=CD，∴DE：

EC=2：

3．

9.如图，在□ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：

BE=4：

3，且BF=2，则DF=___________

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AE：

AB=3：

7，∴BE：

CD=3：

7．

∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴BF：

DF=BE：

7，即2：

DF=3：

7，∴DF=．

10 如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为       米．

根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知=，即=，AM=5m．

11.如图，AB∥CD，AD与BC交于点E．若∠B=35°

，∠D=45°

，则∠AEC= _________________

12.某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5 m的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1 m，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6 m，那么旗杆AC的高度为（  ）．

易证△ABC∽△DEF，所以＝，即＝，所以AC＝9（m）

13. 如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC，BC，在AC上取点M，使AM＝3MC，作MN∥AB交BC于N，量得MN＝3.8 m，则AB的长为________．

15.2 m △CMN∽△CAB，＝＝，AB＝4MN＝4×

3.8＝15.2（m）

14.如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.4 m，BP＝2.1 m，PD＝12 m．那么该古城墙CD的高度是__________m

反射角等于入射角．∠APB＝∠CPD，再由∠ABP＝∠CDP＝90°

，得到△ABP∽△CDP，得到＝，CD＝8 m.

 15.一根1.5 m长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为2.1 m；

此时一棵水杉树的影长为10.5 m，则这棵水杉树高为（  ）．7.5

16.如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别