相似三角形性质与运用Word下载.doc

1、DBEABC例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（2）如图：其中1=2，则ADEABC称为“相交线型”的相似三角形。（3）如图：1=2，B=D，则ADEABC，称为“旋转型”的相似三角形。观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及EAF与ECA解：设AB=a，则BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得AE=， 在EAF与ECA中，A

2、EF为公共角，且所以EAFECA（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例1、ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DFAC=BCFE过D点作DKAB，交BC于K，DKAB，DF：FE=BK：BE又AD=BE，DF：AD，而BK：AD=BC：AC即DF：FE= BC：AC，DFAC=BCFE例2：已知：如图，在ABC中，BAC=900，M是BC的中点，DMBC于点E，交BA的延长线于点D。求证：（1）MA2=MDME；（2）（1）BAC=900，M是BC的中点，MA=MC，1=C，DMBC，C=D=900-B，1=D

3、，2=2MAEMDA，MA2=MDME，（2）MAEMDA，命题1 如图，如果1=2，那么ABDACB，AB2=ADAC。命题2 如图，如果AB2=ADAC，那么ABDACB，1=2。如图ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。怎样作？观察要证明的结论，紧紧扣住结论中“AE：ED”的特征，作DGBA交CF于G，得AEFDEG，。与结论相比较，显然问题转化为证。过D点作DGAB交FC于G则AEFDEG。（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形

4、与原三角形相似）（1）D为BC的中点，且DGBFG为FC的中点则DG为CBF的中位线， （2）将（2）代入（1）得：三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例1：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且。AEF=FBD作FGBD，垂足为G。设AB=AD=3k则BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=ADB=450，FGD=900DFG=450DG=FG=BG=又A=FGB=900AEFGBF AEF=FBD例2、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线， SQAB，RPBC要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件，故可考虑

5、用比例线段去证明。利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标，选择适当的比例线段。要证明SQAB，只需证明AR：AS=BR：DS。 证明：在ADS和ARB中。DAR=RAB=DAB，DCP=PCB=ABCADSABR 但ADSCBQ，DS=BQ，则，SQAB，同理可证，RPBC例3、已知A、C、E和B、F、D分别是O的两边上的点，且ABED，BCFE，求证：AFCD要证明AFCD，已知条件中有平行的条件，因而有好多的比例线段可供利用，这就要进行正确的选择。其实要证明AFCD，只要证明即可，因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。ABED，BCFE，两式相乘可得： 例4、直

6、角三角形ABC中，ACB=90，BCDE是正方形，AE交BC于F，FGAC交AB于G，求证：FC=FG 要证明FC=FG，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用比例线段来证明。要证明FC=FG，首先要找出与FC、FG相关的比例线段，图中与FC、FG相关的比例式较多，则应选择与FC、FG都有联系的比作为过渡，最终必须得到（“？”代表相同的线段或相等的线段），便可完成证明。 FGACBE，ABEAGF 则有而FCDE AEDAFC则有 又BE=DE（正方形的边长相等），即GF=CF。例5、RtABC锐角C的平分线交AB于E，交斜边上的高AD于O，过O引BC的平

7、行线交AB于F，AE=BFCO平分C，2=3，故RtCAERtCDO，又OFBC，又RtABDRtCAD，即AE=BF。1. 如图，在四边形ABCD中，DCAB，CBAB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则AEF与多边形BCDFE的面积之比为（）连接BDF、E分别为AD、AB中点，EF=BD，EFBD，AEFABD，=，AEF的面积：四边形EFDB的面积=1：3，CD=AB，CBDC，ABCD，=，AEF与多边形BCDFE的面积之比为1：（3+2）=1：52.如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB1，CD3，那么EF的长是（）利用ABEFC

8、D得到ABEDCE，得到，BEFBCD得到，3. 如图，D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，DEAC，若SBDE：SCDE=1：3，则SDOE：SAOC的值为（）SBDE：3，BE：EC=1：3；BE：BC=1：4；DEAC，DOEAOC，=，SDOE：SAOC=，4.如图，在RtABC中，AB=BC，B=90，AC=10四边形BDEF是ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）则此正方形的面积是_在RtABC中，AB2+BC2=AC2，AB=BC，AC=102AB2=200，AB=BC=10，设EF=x，则AF=10xEFBC，AFEABC=，即=，x=5，EF=5，此正方形的面积

9、为55=255. 如图，在ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则_.如图，连接ED，由BD，CE分别是边AC，AB上的中线可知BD是ABC的中位线，因此可得ED=BC，EDBC，由平行线可证得OEDCOD，因此可得=2.6. 如图，在ABC中，AB=AC，BD=CD，CEAB于E求证：ABDCBE在ABC中，AB=AC，BD=CD，ADBC，CEAB，ADB=CEB=90，又B=B，ABDCBE7. 如图，D是ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2DAC=B，若ABD的面积为a，则ACD的面积为（ ）首先证明ACDBCA，由相似三角形的性质可得：ACD的

10、面积：ABC的面积为1：4，因为ABD的面积为a，进而求出ACD的面积8. 如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，SDEF：SABF=4：25，则DE：EC=（）四边形ABCD是平行四边形，ABCD，EAB=DEF，AFB=DFE，DEFBAFSDEF：25，DE：AB=2：5，AB=CD，DE：EC=2：39. 如图，在ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=_四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AB=CD，AE：AB=3：7，BE：CD=3：7ABCD，BEFDCF，BF：DF=BE：7，即2：DF=3：7，

11、DF=10如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米根据题意，易得MBAMCO，根据相似三角形的性质可知=，即=，AM=5m11. 如图，ABCD，AD与BC交于点E若B=35，D=45，则AEC=_12. 某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5m的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1m，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6m，那么旗杆AC的高度为（）易证ABCDEF，所以，即，所以AC9（m）13. 如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC，BC，在AC上取点M，使AM3MC，作

12、MNAB交BC于N，量得MN3.8m，则AB的长为_15.2mCMNCAB，AB4MN43.815.2（m）14. 如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处已知ABBD，CDBD，且测得AB1.4m，BP2.1m，PD12m那么该古城墙CD的高度是_m反射角等于入射角APBCPD，再由ABPCDP90，得到ABPCDP，得到，CD8m.15.一根1.5m长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为2.1m；此时一棵水杉树的影长为10.5m，则这棵水杉树高为（）7.516. 如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EFAE，EF分别