频率域滤波_精品文档PPT资料.ppt

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或余弦乘以加权函数的积分表示。

用用傅傅立立叶叶级级数数或或变变换换表表示示的的函函数数特特征征可可以以通通过过傅傅立立叶叶反反变换重建，不丢失任何信息。

变换重建，不丢失任何信息。

4.2.1一维傅立叶变换及其反变换一维傅立叶变换及其反变换单变量连续函数单变量连续函数f（x）f（x）的傅立叶变换的傅立叶变换F（u）F（u）定义为：

定义为：

4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍离散形式的傅立叶变换：

离散形式的傅立叶变换：

4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍因此傅立叶变换的每一项因此傅立叶变换的每一项即对于每个即对于每个u值值,F（u）的值的值由由f（x）函数所有值的和组成函数所有值的和组成.f（x）的值与各种频率的正弦值和余弦值相乘。

的值与各种频率的正弦值和余弦值相乘。

F（u）值的范围覆盖的域（值的范围覆盖的域（u的值）称为的值）称为频率域频率域，因为，因为u决定了变换的频率成分决定了变换的频率成分.F（u）的的M项中的每一个被称为变换的项中的每一个被称为变换的频率分量频率分量。

傅立叶变换可看成傅立叶变换可看成“数学的棱镜数学的棱镜”，将函数基于频率分成不同的成分，将函数基于频率分成不同的成分.使我们能够通过频率成分来分析一个函数。

使我们能够通过频率成分来分析一个函数。

用极坐标表示用极坐标表示F（u）F（u）比较方便：

比较方便：

4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍R（u）和和I（u）分别为分别为F（u）的实部和虚部的实部和虚部4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍在离散傅立叶变换中在离散傅立叶变换中,函数函数f（x）中中x的取值不一定是的取值不一定是0,M-1中的整数值中的整数值,而是任意选取的等间隔点而是任意选取的等间隔点.u总是从总是从0频率开始频率开始4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍二维二维DFT及其反变换及其反变换反变换：

反变换：

MN的函数的函数f（x,y）的的DFT:

4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍二维变换的傅立叶谱、相角、频率谱二维变换的傅立叶谱、相角、频率谱为为f（x,y）的平均值的平均值,即原点处的傅立叶变换等于图像的平均灰度级即原点处的傅立叶变换等于图像的平均灰度级.当当u=0,v=0时时4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍通常在进行傅立叶变换之前用通常在进行傅立叶变换之前用（-1）x+y乘以输入的图像函数乘以输入的图像函数将傅立叶变换的原点将傅立叶变换的原点（即即F（0,0）被设置在被设置在u=M/2,v=N/2上上,该点为二维该点为二维DFT设置的设置的MN区域的中心区域的中心为确保移动后的坐标为整数，要求为确保移动后的坐标为整数，要求M,N为偶数。

当在计算机中使用傅立叶变换为偶数。

当在计算机中使用傅立叶变换时，总和的范围为时，总和的范围为u从从1到到M,v从从1到到N。

实际的变换中心将为。

实际的变换中心将为u=（M/2）+1和和v=（N/2）+1.4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍xyuv4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍二维傅立叶变换的基本性质：

平移二维傅立叶变换的基本性质：

平移可以用于中心化变换可以用于中心化变换,u和和v的的范围分别为范围分别为0,M-1和和0,N-1,变换后的中心变为变换后的中心变为u=（M/2）+1,u=（N/2）+14.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍二维傅立叶变换的基本性质：

分配性和比例变换性二维傅立叶变换的基本性质：

分配性和比例变换性傅立叶变换对加法具有分配性，对乘法没有：

傅立叶变换对加法具有分配性，对乘法没有：

对于比例因子对于比例因子a和和b，有：

，有：

4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍二维傅立叶变换的基本性质：

旋转二维傅立叶变换的基本性质：

旋转若引入极坐标若引入极坐标那么那么f（x,y）和和F（u,v）分别变成分别变成有有4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍二维傅立叶变换的基本性质：

周期性和对称性二维傅立叶变换的基本性质：

周期性和对称性周期性：

周期性：

共轭对称共轭对称4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍二维傅立叶变换的基本性质：

可分性二维傅立叶变换的基本性质：

可分性其中其中对于每个对于每个x值，当值，当v0,1,2,N-1时时,该等式是完整的一维傅立叶变换。

即该等式是完整的一维傅立叶变换。

即F（x,v）是沿着是沿着f（x,y）的一行所进行的傅立叶变换。

当的一行所进行的傅立叶变换。

当y由由0变为变为N-1时，沿着时，沿着f（x,y）的所有行计算傅立叶变换。

然而频率变量的所有行计算傅立叶变换。

然而频率变量u仍然保持不变。

为完成二仍然保持不变。

为完成二维变换，将维变换，将u值从值从0变到变到M-1.这涉及沿这涉及沿F（x,v）的每一列计算一维变换。

的每一列计算一维变换。

可以通过先沿输入图像的每一行计算一维变换，然后沿中间结果的每一可以通过先沿输入图像的每一行计算一维变换，然后沿中间结果的每一列再计算一维变换的方法来求二维变换。

列再计算一维变换的方法来求二维变换。

卷积定理二维傅立叶变换的基本性质：

卷积定理对于离散域的函数，定义为：

对于离散域的函数，定义为：

在泛函分析中，卷积是通过两个函数在泛函分析中，卷积是通过两个函数f和和g生成第三个函数的一种数学算子，生成第三个函数的一种数学算子，表征函数表征函数f与经过翻转和平移的与经过翻转和平移的g的重叠部分的累积。

的重叠部分的累积。

4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍卷积理论由两个函数和它们的傅立叶变换间的下述关系组成：

卷积理论由两个函数和它们的傅立叶变换间的下述关系组成：

大小为大小为MN的两个函数的两个函数f（x,y）和和h（x,y）的离散卷积表示为的离散卷积表示为f（x,y）*h（x,y）4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍f（m）h（m）h（-m）h（x-m）f（x）*h（x）采用采用DFT可以在频可以在频率域进行率域进行卷积运算卷积运算,但函数被但函数被看成周期看成周期函数函数,从而从而会引起错会引起错误。

误。

傅立叶变换计算范围傅立叶变换计算范围4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍和和P=A+B傅立叶变换计算范围傅立叶变换计算范围4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍正确正确延拓延拓正确正确没有适当延拓输入图像的频率域滤波结果没有适当延拓输入图像的频率域滤波结果适当延拓的图像适当延拓的图像适当延拓输入图像的频率域滤波结果适当延拓输入图像的频率域滤波结果原始图原始图像之一像之一损失损失不正确不正确4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍在空间域延拓的低通滤波器在空间域延拓的低通滤波器用延拓滤波的结果用延拓滤波的结果4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍二维傅立叶变换的基本性质：

相关性二维傅立叶变换的基本性质：

相关性相关理论由两个函数和它们的傅立叶变换间的下述关系组成：

相关理论由两个函数和它们的傅立叶变换间的下述关系组成：

大小为大小为MN的两个函数的两个函数f（x,y）和和h（x,y）的相关性定义如下：

的相关性定义如下：

相关的重要用途在于匹配相关的重要用途在于匹配,用于确定是否包含有感兴趣的物体或区域。

用于确定是否包含有感兴趣的物体或区域。

4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍一一维函数的相关维函数的相关25625638422932974.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍二维傅立叶变换的性质总结二维傅立叶变换的性质总结4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍快速傅立叶变换快速傅立叶变换离散傅立叶变换成为信号处理的一种基础工具的一个主要原因是快速傅立离散傅立叶变换成为信号处理的一种基础工具的一个主要原因是快速傅立叶变换的发展。

直接计算叶变换的发展。

直接计算M点的一维傅立叶变换需要点的一维傅立叶变换需要M2次的乘法次的乘法/加法运算。

加法运算。

快速傅立叶变换完成相同的任务只需进行快速傅立叶变换完成相同的任务只需进行Mlog2M次运算。

次运算。

考虑一维的情况，二维可以通过相继的一维变换得到考虑一维的情况，二维可以通过相继的一维变换得到4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍分析上面的式子分析上面的式子,可以发现一个可以发现一个M点变换可以通过把原始表达式分成两部分来计算点变换可以通过把原始表达式分成两部分来计算.计算计算F（u）的前半部分要对的前半部分要对Feven和和Fodd给出的两个给出的两个M/2点变换进行计算。

将点变换进行计算。

将Feven和和Fodd代入代入F（u）即得即得F（u）,u=0,1,2,（M/2-1）.而另外一半可直接从而另外一半可直接从F（u+K）得到得到,而无需而无需另外的变换计算另外的变换计算.可以分析，快速傅立叶变换的时间复杂度为：

可以分析，快速傅立叶变换的时间复杂度为：

快速傅立叶变换相对于一维离散傅立叶变换的计算优势定义为：

4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍当当n增加时，快速傅立叶变换的算法优势越来越明显增加时，快速傅立叶变换的算法优势越来越明显样点的数目为样点的数目为2n频率域滤波的基本步骤频率域滤波的基本步骤4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍输入图像输入图像输入图像输入图像增强后的图像增强后的图像前处理前处理傅立叶傅立叶变换变换滤波函数滤波函数傅立叶傅立叶反变换反变换频域滤波操作频域滤波操作频域滤波的基本步骤频域滤波的基本步骤4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍H（u,v）被称为滤波器被称为滤波器（“滤波器传递函数滤波器传递函数”）的原因是它在变换中抑制某些的原因是它在变换中抑制某些频率而其他频率不受影响频率而其他频率不受影响.被滤波的图像可以通过傅立叶反变换得到被滤波的图像可以通过傅立叶反变换得到:

输出图像输出图像:

4.2傅立叶变换和频率域的介绍傅立叶变换和频率域的介绍一些基本的滤波器及其性质一些基本的滤波器及其性质在傅立叶变换中在傅立叶变换中,低频主要决定图像在平滑区域中总体灰度级的显示低频主要决定图像在平滑区域中总体灰度级的显示,而而高频决定图像细节部分高频决定图像