二次型与极值Word格式.doc
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QUADRATICFORMANDEXTREMEVALUEPROBLEME
OFMULTI-VARIABLEFUNCTION
ABSTRCT
Thecircularfunctionextremevaluedistinctionlawareverymany,wewilluseinthisarticletwotimedistinguishedthecircularfunctiontheordinaryextremevalueandtheconditionextremevalueandwillapplyinthedualfunction.
First,thendiscussestwotimewithwhentheordinaryextremevaluerelationswefirstdiscusstheextremevalueexistencetheessentialcondition,thendiscussestheextremevalueexistencetheindiscussesthefirstsufficiencyisusesthefunctionthecontinuity,butinthediscussionextremevalueexistencesecondsufficiencytaketwostepspartialderivativeandtheTaylor’sexpansionknowledgeasthefoundation，Obtainsusingtwonaturewhytheextremevaluetheexistenceandakindofextremevalueisdecidedbytwoqualitativeandnegativequalitative,whentwothistimearetakingtheminimumforfixedtimethefunctionofmanyvariables;
Whentwothistimetakethemaximumvalueforthenegativefixedtimefunctionofmanyvariables;
Whentwoaretheindefinitetenses,thistimethefunctionofmanyvariablesdoesnothavetheextremevalue.Againobtainsthedualfunctionandacircularfunctionextremevaluedistinctionlawfromthefunctionofmanyvariablessituation.
Whendiscussesthencircularfunctiontheconditionminimumproblem,usesistheLagrangemultiplicatorlawfirstobtainstheconditionextremevaluetheessentialcondition,thendiscussesthencircularfunctionextremevalueexistenceaccordingtotheessentialconditionthesufficiencytoliftagainoneperformsintheactualproblemconditionextremevalueexampletoexplain
KEYWORDS:
QuadraticForm,ExtremeValue,Multi-VariableFunction,ExtremeValue,StablePoint,PositiveDefiniteProperty,NegativeDefiniteProperty
目录
第一章绪论…………………………………………………………………………1
课题研究背景…………………………………………………………………………1
二次型与极值的发展及研究现状………………………………………………………1
第二章定义及相关定理…………………………………………………………2
定义……………………………………………………………………………………2
二次型与矩阵的关系及相关定理……………………………………………………2
第三章普通极值与二次型………………………………………………………4
定义………………………………………………………………………………………4
极值存在的必要条件…………………………………………………………………4
元函数极值存在的充分条件………………………………………………………5
第四章条件极值与二次型………………………………………………………9
定义……………………………………………………………………………………9
条件极值存在的必要条件…………………………………………………………9
条件极值存在的充分条件……………………………………………………………11
第五章总结和展望………………………………………………………………14
本文总结………………………………………………………………………………14
展望……………………………………………………………………………………14
参考文献…………………………………………………………………………………15
致谢…………………………………………………………………………………………16
15
第一章绪论
课题研究背景
怎样去求一个元函数的极值，很多论文和教材都有不同的方法，其中最常见的是用二次型来判别极值。
由泰勒展式和二阶偏导得出的元函数的极值与二次型的正定，负定性有关，当二次型不定时元函数不取得极值，以及教材中所涉及的判断一元函数极值存在的求导法，在讨论元函数的条件极值存在的必要条件和充分条件时利用泰勒展式和二阶偏导得出条件极值存在的必要条件和充分条件，这些论文或教材的讨论比较零乱，形式不一，内容不全面。
本文将在其他论文和教材的论述基础上进行整理，修正和提出自己的观点。
，
发展及研究现状
目前纵多著作中所讨论的极值问题尤以二次型最多，有些著作讨论一元函数的情形，或元函数的情形并应用到二元函数上。
在讨论元函数的普通极值时得出判别元函数极值存在的必要条件（极值点是稳定点但稳定点不一定是极值点），再讨论函数存在的充分条件（第一充分条件和第二充分条件），利用泰勒展式和二阶偏导得出元函数极值存在与二次型的正定，负定有关。
泰勒展式的形式不同（利用梯度知识或模长知识），并将元函数的情形运用到二元函数上。
在讨论元函数的条件极值时利用的是拉格朗日乘数法，也是利用泰勒展式得出条件极值存在的必要和充分条件，最后利用二次型的正定性和负定性来判别条件极的
存在和极值的类型。
第二章定义及相关定理
§
2-1定义
定义1设元函数在点邻近有定义，如果存在，使得（或者）,那么我们就说函数在点取得极小值（极大值）；
如果存在使得，（或者）那么我们就说函数在点取得严格极小值（严格极大值）极小值与极大值都称极值，严格极大值与严格极小值都称严格极值。
定义2设为为一个数域，的一个系数在数域中二次多项式
，
（1）
称为数域上的一个元二次型或简称二次型。
如：
叫做有理数域上的三元二次型。
2-2二次型与矩阵的关系及相关定理
令又由于所以二次型可以写成：
，
（2）
其中它的系数可以用一个矩阵来表示：
它称为二次型的矩阵，因为所以我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此二次型的矩阵都是对称的。
令则二次型可以用矩阵的乘积来表示
。
故，，如果二次型是正定的（负定的），那么我们就说它的系数方阵是正定的（负定的）
定理：
，为正定的充分必要条件是：
它的系数方阵的所有顺序主子是都大于0即：
推论：
为负定的充要条件是
。
第三章元函数的普通极值与二次型的关系
3-1定义
定义偏导数：
对于函数给变量以增量则函数的增量为假若存在则此极限值为函数在点对的偏导数极为或。
若函数在某一个开区域上有对于其中一个变量的偏导数，则该偏导数仍是的函数，因此它可能在某一点仍有对相同变量或不同变量的偏导数，这样的偏导数称为的二阶偏导数。
已知对的一阶偏导数则它对和（其中）的导数记为，同样可以推出高阶偏导数：
定义2：
若，成立，则称为的稳定点。
3-2极值存在的必要条件
定理1（判别极值存在的必要条件）设可微，若在取得极值且偏导数存在，则在处的微分为零。
证明（反证法）假设在处取得极大值，不妨设在处的微分不为0，则至少存在一个量使的再设则由极限的性质知存在使得
即这与为极大值相矛盾则定理1成立。
同理可以证得若在取得极小值则得此时的称为的稳定点，由定理1知偏导数存在的函数的极值点必为稳定点，但稳定点不一定是极值点。
如函数其中是它的稳定点，但不是的极值点。
因在点处函数的值为0，在此点的任一邻域内，函数既可以取得正直也可以取得负值。
因此不是函数的极值点。
3-3元函数极值存在的充分条件
3-3-1海赛矩阵
设元函数在点具有二阶连续偏导数并记为此矩阵称为在点的矩阵。
由二阶偏导数的连续性知是实对称矩阵。
3-3-2定理2（第一充分条件）
若函数在处连续且在内可微，如果，（或）且，则函数在处有极大值（或极小值）。
证明：
设元函数，
令，由条件知在处连续且在内可微，所以在上连续且在内可微，于是存在使得
即
=或（）
则或即在处取得极大值（或极小值）
3-3-3定理3（第二充分条件）
设函数在点邻近至少是二阶连续可微的，是的一个稳定点
如果函数在点的方阵是正定的，那么在点取得极小值。
如果函数在的方阵是负定的那么在点取得极
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