结构动力学5任意荷载反应时域频域86_精品文档PPT资料.ppt

结构动力学5任意荷载反应时域频域86_精品文档PPT资料.ppt

《结构动力学5任意荷载反应时域频域86_精品文档PPT资料.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《结构动力学5任意荷载反应时域频域86_精品文档PPT资料.ppt（86页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

当0时：

由于脉冲作用时间很短，0，质点的位移为零：

5.1时域分析方法Duhamel积分1、单位脉冲反应函数无阻尼体系的单位脉冲反应函数为：

有阻尼体系的单位脉冲反应函数为：

5.1时域分析方法Duhamel积分1、单位脉冲反应函数5.1Duhamel积分2、对任意荷载的反应将作用于结构体系的外荷载p（）离散成一系列脉冲，首先计算其中任一脉冲p（）d的动力反应：

在任意时间t结构的反应，等于t以前所有脉冲作用下反应的和：

5.1时域分析方法Duhamel积分2、对任意荷载的反应无阻尼体系动力反应的Duhamel积分公式：

阻尼体系动力反应的Duhamel积分公式：

5.1时域分析方法Duhamel积分Duhamel（杜哈曼）积分给出的解是一个由动力荷载引起的相应于零初始条件的特解。

如果初始条件不为零，则需要再叠加上由非零初始条件引起的自由振动，其解的形式已在第三章给出。

例如，对于无阻尼体系，当存在非零初始条件时，问题的完整解为：

5.1时域分析方法Duhamel积分杜哈曼积分法给出了计算线性SDOF体系在任意荷载作用下动力反应的一般解，适用于线弹性体系。

因为使用了叠加原理，因此它限于弹性范围而不能用于非线性分析。

如果荷载p（t）是简单的函数，则可以得到封闭解（closed-form）。

如果p（t）是一个很复杂的函数，也可以通过数值积分得到问题的解。

但从实际应用上看，采用数值积分时，其计算效率不高，因为对于计算任一个时间点t的反应，积分都要从0积到t，而实际要计算一时间点系列，可能要几百到几千个点。

这时可采用效率更高的数值解法，在以后将介绍。

虽然在实际的计算中并不常用Duhamel积分法，但它给出了以积分形式表示的体系运动的解析表达式，在分析任意荷载作用下体系动力反应的理论研究中得到广泛应用。

5.2频域分析方法Fourier变换法Fourier变换的定义为：

速度和加速度的Fourier变换为：

5.2频域分析方法Fourier变换法单自由度体系时域运动方程：

对时域运动方程两边同时进行Fourier正变换，得单自由度体系频域运动方程：

5.2频域分析方法Fourier变换法单自由度体系运动的频域解为：

H（i）复频反应函数，i是用来表示函数是一复数。

再利用Fourier逆变换，即得到体系的位移解：

5.2频域分析方法Fourier变换法频域分析方法的基本计算步骤：

1、对外荷载p（t）作Fourier变换，得到荷载的Fourier谱P（）：

2、根据外荷载的Fourier谱P（）和复频反应函数H（i），得到结构反应的频域解Fourier谱U（）：

U（）=H（i）P（）3、应用Fourier逆变换，由频域解U（）得到时域解u（t）：

5.2频域分析方法Fourier变换法离散Fourier（DFT）变换在用频域法分析中涉及到两次Fourier变换，均为无穷域积分，特别是Fourier逆变换，被积函数是复数，有时涉及复杂的围道积分。

当外荷载是复杂的时间函数（如地震动）时，用解析型的Fourier变换几乎是不可能的，实际计算中大量采用的是离散Fourier变换。

5.2频域分析方法Fourier变换法离散Fourier（DFT）变换对连续变化的函数用等步长离散（数值采样）时域离散化：

频域离散化：

5.2频域分析方法Fourier变换法离散Fourier（DFT）变换将离散化的值代入Fourier正变换公式，并应用矩形积分公式得：

将离散化的谱值代入Fourier逆变换公式，并应用矩形积分公式得：

5.2频域分析方法Fourier变换法离散Fourier（DFT）变换以上公式即是求结构反应的离散Fourier变换方法DFT如果取N=2m，再利用简谐函数周期性的特点，可以得到快速Fourier变换FFT，应用FFT可以大大加快分析速度和减少工作量。

5.2频域分析方法Fourier变换法离散Fourier（DFT）变换应用离散Fourier变换时应注意事项:

1.离散Fourier变换将非周期时间函数周期化2.由于第1点原因，对p（t）要加足够多的0点增大持续时间Tp，以保证在所计算的时间段0,Tp内，体系的位移能衰减到03.频谱上限频率fNyquest=1/2t，Nyquest=2fNyquest4.频谱的分辨率为f=1/Tp，即=2/Tp5.频谱的下限f1=1/Tp5.2频域分析方法Fourier变换法离散Fourier（DFT）变换2.由于离散Fourier变换将非周期时间函数周期化，对此要加足够多的0点以增大持续时间Tp，保证在所计算的时间段0,Tp内，体系的位移能衰减到0。

冲击荷载反应分析（ResponsetoPulseExcitations）冲击荷载是工程中常遇的荷载形式。

例如，结构受爆炸冲击波的作用，结构动力试验中使用的锤击荷载等。

冲击荷载可以表示为作用时间较短的脉冲。

常用的形式有三种：

矩形、半正弦、三角形荷载。

由于荷载作用时间较短，在冲击荷载作用下，结构的最大反应可在很短的时间内达到，在此期间，结构的阻尼还来不及吸收较多的振动能量，因此，在计算冲击荷载引起的振动反应时，一般不考虑阻尼的影响。

分析方法分段求解：

强迫振动阶段+自由振动阶段直接用Duhamel积分冲击荷载反应分析矩形冲击荷载冲击荷载反应分析矩形冲击荷载反应冲击荷载反应分析半正弦冲击荷载冲击荷载反应分析半正弦冲击荷载反应冲击荷载反应分析三角形冲击荷载冲击荷载反应分析三角形冲击荷载反应三种冲击荷载作用下的冲击反应谱5.3数值计算方法时域逐步积分法（Step-by-stepmethods）前面给出了两种分析任意荷载作用下结构动力反应分析方法：

时域分析方法Duhamel积分法；

频域分析方法基于Fourier变换。

这两种分析方法的特点是：

均基于叠加原理，要求结构体系是线弹性的。

当外荷载较大时，结构反应可能进入弹塑性，或结构位移较大时，结构可能进入（几何）非线性，这时叠加原理不再适用。

此时可以采用时域逐步积分法求解运动微分方程。

目前已发展了一系列的时域逐步积分法，例如：

（1）分段解析法链式积分法；

（2）中心差分法；

（3）Newmark法；

（4）Wilson法。

5.3数值计算方法时域逐步积分法采用叠加原理的时域和频域分析方法（Duhamel积分，Fourier变换），假设结构在全部反应过程中都是线性的，而时域逐步积分法，只假设在一个时间步距内是线性的，相当于用分段直线来逼近曲线。

时域逐步积分法是结构动力学问题中一个得到广泛研究的领域。

时域逐步积分法研究的是离散时间点上的值，例如位移ui=u（ti），速度,i=0,1,。

而这种离散化正符合计算机存贮的特点。

一般情况下采用等步长离散，ti=it。

与运动变量的离散化相对应，体系的运动微分方程也不一定要求在全部时间上都满足，而仅要求在离散时间点上满足，这相当于放松了对运动变量的约束。

5.3数值计算方法时域逐步积分法等步长离散，ti=it。

体系的运动微分方程也不一定要求在全部时间上都满足，而仅要求在离散时间点上满足。

5.3数值计算方法时域逐步积分法一种逐步积分法的优劣，主要由以下四个方面判断：

（1）收敛性：

当t0时，数值解是否收敛于精确解；

（2）计算精度：

截断误差与时间步长t的关系，若误差O（tn），则称方法具有n阶精度；

（3）稳定性：

随时间步数i的增大，数值解是否变得无穷大（远离精确解）；

（4）计算效率：

所花费的计算时间。

一个好的方法首先必须是收敛的、有足够的精度（例如二阶，满足工程要求）、良好的稳定性、较高的计算效率。

在发展逐步积分法中，也的确发展了一些高精度但很费时的方法，得不到应用和推广。

5.3数值计算方法时域逐步积分法逐步积分法按是否需要联立求解耦联方程组，可分为两大类：

隐式方法：

逐步积分计算公式是偶联的方程组，需联立求解，计算工作量大，通常增加的工作量与自由度的平方成正比，例如Newmark法、Wilson法。

显式方法：

逐步积分计算公式是解偶的方程组，无需联立求解，计算工作量小，增加的工作量与自由度成线性关系，如中心差分方法。

下面先介绍一下分段解析算法，然后再重点介绍两种常用的时域逐步积分法中心差分法和Newmark法。

5.3数值计算方法时域逐步积分法1、分段解析法（PiecewiseExactMethod）分段解析算法假设在titti+1时段内如果荷载p（t）采用计算机采样，即离散数值采样，则以上定义可认为是准确的。

图5.5分段解析法对外荷载的离散5.3时域逐步积分法1、分段解析法在titti+1时段内体系的运动方程：

初值条件：

运动方程的特解:

运动方程的通解:

5.3时域逐步积分法1、分段解析法全解u（）=up（）+uc（）代入边界条件确定系数A、B，最后得：

其中，？

5.3时域逐步积分法1、分段解析法当=ti时，得到其中系数AD是结构刚度k，自振频率n，阻尼比和时间步长t的函数。

上式给出了根据i时刻运动及外力计算i+1时刻运动的递推公式。

如果结构是线性的，并采用等时间步长，则AD均为常数，其计算效率非常高，在p（t）离散采样的定义下是精确解，但如果是非线性问题，则AD均为变量，计算效率会大为降低。

5.3时域逐步积分法表5.1分段解析法计算公式中的系数5.3时域逐步积分法分段解析法的误差仅来自对外荷载的假设，而在连续时间轴上严格满足运动微分方程。

一般的时域逐步积分法将进一步放松要求，仅要求在离散的时间点上满足运动方程，相当于放松了运动的约束。

5.3数值计算方法时域逐步积分法2、中心差分法（CentralDifferenceMethod）中心差分方法用有限差分代替位移对时间的求导（即速度和加速度）。

如果采用等步长，ti=t，则i时刻速度和加速度的中心差分近似为：

5.3数值计算方法时域逐步积分法2、中心差分法（CentralDifferenceMethod）中心差分方法计算中的起步处理方法初始条件为：

5.3数值计算方法时域逐步积分法2、中心差分法（CentralDifferenceMethod）中心差分法计算步骤：

（1）.初始计算

（2）.根据i及i以前时刻的运动，计算i+1时刻的运动（3）.下一步计算用i+1代替i，重复

（2）中的计算步骤。

5.3数值计算方法时域逐步积分法2、中心差分法（CentralDifferenceMethod）中心差分法的精度和数值稳定性以上给出的中心差分逐步积分公式，是收敛的；

具有2阶精度，即误差O（t2）；

是有条件稳定，稳定条件tTn/；

具有较高的计算效率。

5.3数值计算方法时域逐步积分法中心差分法的数值稳定性（tTn/）稳定性的含义，当满足稳定性条件时，计算值u为有限值；

当不满足稳定性条件时，随着t，u。

5.3数值计算方法时域逐步积分法中心差分法的数值稳定性证明设体系为无阻尼，并设外荷载p=0（算法的稳定性与外荷载