结构动力学5任意荷载反应时域频域86_精品文档PPT资料.ppt

1、当0时：由于脉冲作用时间很短，0，质点的位移为零：5.1 时域分析方法Duhamel积分 1、单位脉冲反应函数 无阻尼体系的单位脉冲反应函数为：有阻尼体系的单位脉冲反应函数为：5.1 时域分析方法Duhamel积分 1、单位脉冲反应函数 5.1 Duhamel积分 2、对任意荷载的反应 将作用于结构体系的外荷载p（）离散成一系列脉冲，首先计算其中任一脉冲p（）d的动力反应：在任意时间t结构的反应，等于t以前所有脉冲作用下反应的和：5.1 时域分析方法Duhamel积分 2、对任意荷载的反应 无阻尼体系动力反应的Duhamel积分公式：阻尼体系动力反应的Duhamel积分公式：5.1 时域分析方

2、法Duhamel积分 Duhamel（杜哈曼）积分给出的解是一个由动力荷载引起的相应于零初始条件的特解。如果初始条件不为零，则需要再叠加上由非零初始条件引起的自由振动，其解的形式已在第三章给出。例如，对于无阻尼体系，当存在非零初始条件时，问题的完整解为：5.1 时域分析方法Duhamel积分 杜哈曼积分法给出了计算线性SDOF体系在任意荷载作用下动力反应的一般解，适用于线弹性体系。因为使用了叠加原理，因此它限于弹性范围而不能用于非线性分析。如果荷载p（t）是简单的函数，则可以得到封闭解（closed-form）。如果p（t）是一个很复杂的函数，也可以通过数值积分得到问题的解。但从实际应用上看，

3、采用数值积分时，其计算效率不高，因为对于计算任一个时间点t 的反应，积分都要从0积到t，而实际要计算一时间点系列，可能要几百到几千个点。这时可采用效率更高的数值解法，在以后将介绍。虽然在实际的计算中并不常用Duhamel积分法，但它给出了以积分形式表示的体系运动的解析表达式，在分析任意荷载作用下体系动力反应的理论研究中得到广泛应用。5.2 频域分析方法Fourier变换法 Fourier变换的定义为：速度和加速度的Fourier变换为：5.2 频域分析方法Fourier变换法 单自由度体系时域运动方程：对时域运动方程两边同时进行Fourier正变换，得单自由度体系频域运动方程：5.2 频域分析

4、方法Fourier变换法 单自由度体系运动的频域解为：H（i）复频反应函数，i是用来表示函数是一复数。再利用Fourier逆变换，即得到体系的位移解：5.2 频域分析方法Fourier变换法 频域分析方法的基本计算步骤：1、对外荷载p（t）作Fourier变换，得到荷载的Fourier谱P（）：2、根据外荷载的Fourier谱P（）和复频反应函数H（i），得到结构反应的频域解Fourier谱U（）：U（）=H（i）P（）3、应用Fourier逆变换，由频域解U（）得到时域解u（t）：5.2 频域分析方法Fourier变换法 离散Fourier（DFT）变换 在用频域法分析中涉及到两次Fouri

5、er变换，均为无穷域积分，特别是Fourier逆变换，被积函数是复数，有时涉及复杂的围道积分。当外荷载是复杂的时间函数（如地震动）时，用解析型的Fourier变换几乎是不可能的，实际计算中大量采用的是离散Fourier变换。5.2 频域分析方法Fourier变换法 离散Fourier（DFT）变换 对连续变化的函数用等步长离散（数值采样）时域离散化：频域离散化：5.2 频域分析方法Fourier变换法 离散Fourier（DFT）变换 将离散化的值代入Fourier正变换公式，并应用矩形积分公式得：将离散化的谱值代入Fourier逆变换公式，并应用矩形积分公式得：5.2 频域分析方法Fouri

6、er变换法 离散Fourier（DFT）变换 以上公式即是求结构反应的离散Fourier变换方法DFT如果取N=2m，再利用简谐函数周期性的特点，可以得到快速Fourier变换FFT，应用FFT可以大大加快分析速度和减少工作量。5.2 频域分析方法Fourier变换法 离散Fourier（DFT）变换 应用离散Fourier变换时应注意事项:1.离散Fourier变换将非周期时间函数周期化2.由于第1点原因，对p（t）要加足够多的0点增大持续时间Tp，以保证在所计算的时间段0,Tp内，体系的位移能衰减到03.频谱上限频率fNyquest=1/2t，Nyquest=2fNyquest4.频谱的分

7、辨率为f=1/Tp，即=2/Tp5.频谱的下限f1=1/Tp5.2 频域分析方法Fourier变换法 离散Fourier（DFT）变换 2.由于离散Fourier变换将非周期时间函数周期化，对此要加足够多的0点以增大持续时间Tp，保证在所计算的时间段0,Tp内，体系的位移能衰减到0。冲击荷载反应分析（Response to Pulse Excitations）冲击荷载是工程中常遇的荷载形式。例如，结构受爆炸冲击波的作用，结构动力试验中使用的锤击荷载等。冲击荷载可以表示为作用时间较短的脉冲。常用的形式有三种：矩形、半正弦、三角形荷载。由于荷载作用时间较短，在冲击荷载作用下，结构的最大反应可在很短

8、的时间内达到，在此期间，结构的阻尼还来不及吸收较多的振动能量，因此，在计算冲击荷载引起的振动反应时，一般不考虑阻尼的影响。分析方法 分段求解：强迫振动阶段+自由振动阶段 直接用Duhamel积分冲击荷载反应分析 矩形冲击荷载冲击荷载反应分析 矩形冲击荷载反应冲击荷载反应分析 半正弦冲击荷载冲击荷载反应分析 半正弦冲击荷载反应冲击荷载反应分析 三角形冲击荷载冲击荷载反应分析 三角形冲击荷载反应三种冲击荷载作用下的冲击反应谱5.3 数值计算方法时域逐步积分法 （Step-by-step methods）前面给出了两种分析任意荷载作用下结构动力反应分析方法：时域分析方法Duhamel积分法；频域分析

9、方法基于Fourier变换。这两种分析方法的特点是：均基于叠加原理，要求结构体系是线弹性的。当外荷载较大时，结构反应可能进入弹塑性，或结构位移较大时，结构可能进入（几何）非线性，这时叠加原理不再适用。此时可以采用时域逐步积分法求解运动微分方程。目前已发展了一系列的时域逐步积分法，例如：（1）分段解析法链式积分法；（2）中心差分法；（3）Newmark 法；（4）Wilson 法。5.3 数值计算方法时域逐步积分法 采用叠加原理的时域和频域分析方法（Duhamel积分，Fourier变换），假设结构在全部反应过程中都是线性的，而时域逐步积分法，只假设在一个时间步距内是线性的，相当于用分段直线来逼

10、近曲线。时域逐步积分法是结构动力学问题中一个得到广泛研究的领域。时域逐步积分法研究的是离散时间点上的值，例如位移ui=u（ti），速度 ,i=0,1,。而这种离散化正符合计算机存贮的特点。一般情况下采用等步长离散，ti=it。与运动变量的离散化相对应，体系的运动微分方程也不一定要求在全部时间上都满足，而仅要求在离散时间点上满足，这相当于放松了对运动变量的约束。5.3 数值计算方法时域逐步积分法 等步长离散，ti=it。体系的运动微分方程也不一定要求在全部时间上都满足，而仅要求在离散时间点上满足。5.3 数值计算方法时域逐步积分法 一种逐步积分法的优劣，主要由以下四个方面判断：（1）收敛性：当t

11、0时，数值解是否收敛于精确解；（2）计算精度：截断误差与时间步长t的关系，若误差O（tn），则称方法具有n阶精度；（3）稳定性：随时间步数i的增大，数值解是否变得无穷大（远离精确解）；（4）计算效率：所花费的计算时间。一个好的方法首先必须是收敛的、有足够的精度（例如二阶，满足工程要求）、良好的稳定性、较高的计算效率。在发展逐步积分法中，也的确发展了一些高精度但很费时的方法，得不到应用和推广。5.3 数值计算方法时域逐步积分法 逐步积分法按是否需要联立求解耦联方程组，可分为两大类：隐式方法：逐步积分计算公式是偶联的方程组，需联立求解，计算工作量大，通常增加的工作量与自由度的平方成正比，例如New

12、mark法、Wilson 法。显式方法：逐步积分计算公式是解偶的方程组，无需联立求解，计算工作量小，增加的工作量与自由度成线性关系，如中心差分方法。下面先介绍一下分段解析算法，然后再重点介绍两种常用的时域逐步积分法中心差分法和Newmark法。5.3 数值计算方法时域逐步积分法 1、分段解析法（Piecewise Exact Method）分段解析算法假设在titti+1时段内 如果荷载p（t）采用 计算机采样，即 离散数值采样，则以上定义可 认为是准确的。图5.5 分段解析法对外荷载的离散 5.3 时域逐步积分法 1、分段解析法 在titti+1时段内体系的运动方程：初值条件：运动方程的特解

13、:运动方程的通解:5.3 时域逐步积分法 1、分段解析法 全解u（）=up（）+uc（）代入边界条件确定系数A、B，最后得：其中，？5.3 时域逐步积分法 1、分段解析法 当=ti时，得到其中系数AD是结构刚度k，自振频率n，阻尼比和时间步长t的函数。上式给出了根据i时刻运动及外力计算i+1时刻运动的递推公式。如果结构是线性的，并采用等时间步长，则AD均为常数，其计算效率非常高，在p（t）离散采样的定义下是精确解，但如果是非线性问题，则AD均为变量，计算效率会大为降低。5.3 时域逐步积分法 表5.1 分段解析法计算公式中的系数5.3 时域逐步积分法 分段解析法的误差仅来自对外荷载的假设，而在

14、连续时间轴上严格满足运动微分方程。一般的时域逐步积分法将进一步放松要求，仅要求在离散的时间点上满足运动方程，相当于放松了运动的约束。5.3 数值计算方法时域逐步积分法 2、中心差分法（Central Difference Method）中心差分方法用有限差分代替位移对时间的求导（即速度和加速度）。如果采用等步长，ti=t，则i时刻速度和加速度的中心差分近似为：5.3 数值计算方法时域逐步积分法 2、中心差分法（Central Difference Method）中心差分方法计算中的起步处理方法初始条件为：5.3 数值计算方法时域逐步积分法 2、中心差分法（Central Difference

15、Method）中心差分法计算步骤：（1）.初始计算（2）.根据i及i以前时刻的运动，计算i+1时刻的运动（3）.下一步计算用i+1代替i，重复（2）中的计算步骤。5.3 数值计算方法时域逐步积分法 2、中心差分法（Central Difference Method）中心差分法的精度和数值稳定性以上给出的中心差分逐步积分公式，是收敛的；具有2阶精度，即误差O（t2）；是有条件稳定，稳定条件tTn/；具有较高的计算效率。5.3 数值计算方法时域逐步积分法 中心差分法的数值稳定性 （tTn/）稳定性的含义，当满足稳定性条件时，计算值u为有限值；当不满足稳定性条件时，随着t，u。5.3 数值计算方法时域逐步积分法 中心差分法的数值稳定性证明设体系为无阻尼，并设外荷载p=0（算法的稳定性与外荷载