状态反馈与状态观测器_精品文档PPT格式课件下载.ppt

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,定理5-2输出反馈不改变被控系统的能控性与能观性。

证明5.2节已说明，输出反馈H可等效为的状态反馈，又由定理5-1知，状态反馈不改变被控系统的能控性，故输出反馈不改变被控系统的能控性。

可从系统能观性的PBH秩判据出发证明输出反馈不改变被控系统的能观性。

显然，对复数域C上的所有s,下式成立，即,（5-14）,5.4闭环系统极点配置,证明先证必要性。

由定理5-1知，若不能控，则其不能控极点及其对应的不能控模态不能通过状态反馈改变。

证毕。

再证充分性。

以下充分性证明过程实际上给出了单输入单输出系统设计反馈增益矩阵的规范算法。

（1）若被控系统状态完全能控，且设其特征多项式和传递函数分别为,（5-16）,（5-17）,可通过如下变换（设为能控标准型变换矩阵）,（5-18）,将化为能控标准型，即,（5-19）,式中，,（5-20）,

（2）针对能控标准型引入状态反馈,（5-21）,式中，可求得对的闭环系统的状态空间表达式仍为能控标准型，即,（5-22）,式中，,（5-23）,则闭环系统的特征多项式和传递函数分别为,（5-24）,（5-25）,式（5-24）、（5-25）表明，的n阶特征多项式的n个系数可通过,即的特征值可任选。

独立设置，,故若被控系统能控，则其状态反馈系统极点可任意配置。

又,（3）事实上，由给定的期望闭环极点组，可写出期望闭环特征多项式,（5-26）,令式（5-24）与式（5-26）相等，可解出能控标准型使闭环极点配置到期望极点的状态反馈增益矩阵为,（5-27）,（4）将式（5-18）代入式（5-21）得,（5-28）,则原被控系统即对应于状态x引入状态反馈使闭环极点配置到期望极点的状态反馈增益矩阵为,（5-29）,2.采用状态反馈配置闭环极点的方法,方法一规范算法,对状态完全能控的单输入单输出被控系统,可采用以上状态反馈任意配置极点充分条件证明过程所给出的规范算法确定实现闭环极点配置目标的反馈增益矩阵F，即在根据式（5-16）、（5-26）分别确定开环系统特征多项式和期望闭环特征多项式系数的基础上，先用式（5-27）求出能控标准型对应的下的状态反馈增益矩阵；

然后再根据式（5-29）将变换为原状态x下的状态反馈增益阵F，即,（5-30）,式中,为按式（5-18）将化为能控标准型的变换矩阵的逆矩阵，即,（5-31）,方法二解联立方程,设状态反馈增益阵，则闭环系统的特征多项式为,（5-34）,而由给定的期望闭环极点组，可确定如式（5-26）所示的期望闭环特征多项式。

为将闭环极点配置在期望位置，应令式（5-34）与式（5-26）相等，即令，由两个n阶特征多项式对应项系数相等，可得n个关于的联立代数方程，若能控，解联立方程可求出唯一解。

【例5-2】被控系统的状态空间表达式为试设计状态反馈增益矩阵F，使闭环系统极点配置为和，并画出状态变量图。

解

（1）,所以被控系统状态完全能控，可通过状态反馈任意配置闭环系统极点。

（2）确定闭环系统期望特征多项式,闭环系统期望极点为，对应的期望闭环特征多项式为,则，,（3）求满足期望极点配置要求的状态反馈增益矩阵,方法一规范算法,被控系统的特征多项式为,则，,根据式（5-27），能控标准型对应的下的状态反馈增益阵为,按式（5-18）将化为能控标准型的变换矩阵为,则,根据式（5-29），原状态x下的状态反馈增益阵F应为,方法二解联立方程,对被控系统，引入状态反馈后的闭环系统特征多项式为,令，即，比较等式两边同次幂项系数得如下联立方程,解之得，,（4）据被控系统状态空间表达式和所设计的状态反馈增益矩阵F，可画出状态反馈后的闭环系统状态变量图如图5-3所示。

图5-3例5-2图,3.采用状态反馈进行部分极点配置,若被控系统状态不完全能控,采用状态反馈只能将其能控子系统的极点配置到期望位置,而不可能移动其不能控子系统的极点。

换言之,对状态不完全能控的n阶系统而言,若期望配置的n个极点中包含了其全部的不能控极点,那么这一组闭环极点是可以采用状态反馈进行配置的（这时实质上只是配置了被控系统的能控极点）;

否则,就不能采用状态反馈配置n个极点。

5.4.2采用线性非动态输出反馈至参考输入配置闭环系统极点,定理5-4完全能控的系统不能靠引入式（5-7）所示的线性非动态输出反馈控制来任意配置闭环系统的极点。

对定理5-4以单输入单输出系统为例加以说明。

这时,输出反馈矩阵为反馈放大系数（标量）H,由经典控制理论的根轨迹法,改变反馈放大系数H时的闭环极点变化的轨迹是起于开环极点,终于开环零点或无限远点的一组根轨迹,即闭环极点不能配置在复平面的任意位置。

定理5-5对完全能控的单输入单输出系统,通过带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件为:

（1）完全能观;

（2）动态补偿器的阶数为n-1。

5.4.3镇定问题,若被控系统通过状态反馈（或输出反馈）能使其闭环极点均具有负实部,即闭环系统渐近稳定,则称系统是状态反馈（或输出反馈）可镇定的。

定理5-6线性定常系统采用状态反馈可镇定的充要条件是其不能控子系统为渐近稳定。

定理5-7线性定常系统采用输出反馈可镇定的充要条件是结构分解中的能控且能观子系统是输出可镇定的;

而能控不能观、能观不能控、不能控且不能观的三个子系统均为渐近稳定。

【例5-3】被控系统的状态空间表达式为,试设计状态反馈增益矩阵F，使闭环系统得到镇定。

该被控系统采用输出反馈可否镇定?

解为能控标准型,显然能控,故可采用状态反馈使闭环系统镇定。

若设期望极点为,则对应的期望闭环特征多项式为,由规范算法可确定满足期望极点配置要求的状态反馈增益矩阵,对应的闭环系统状态变量图如图5-4（a）所示。

但若采用线性非动态输出反馈,则闭环系统的特征多项式为,可见,引入反馈放大系数为h的线性非动态输出反馈后的闭环特征多项式仍缺项,不论如何选择反馈放大系数h,均不能使闭环系统镇定,即该系统采用线性非动态输出反馈不可镇定。

由图5-4（a）可画出图5-4（b）所示的状态反馈闭环系统等效方块图,其等效为在输出反馈控制回路中嵌入反馈动态补偿器H（s）,即若采用的输出动态反馈可达到与引入线性状态反馈一样的控制效果（将闭环极点配置在,）。

但从H（s）的结构看,其包括比例环节和一阶微分环节,在物理上较上述状态线性反馈复杂且难于实现。

图5-4例5-3图,5.5状态观测器,状态反馈实现的前提是获得系统全部状态信息,然而,状态变量并不一定是系统的物理量,选择状态变量的这种自由性本是状态空间综合法的优点之一,但这也使得系统的所有状态变量不一定都能直接量测;

另一方面,有些状态变量即使可测,但所需传感器的价格可能会过高。

状态观测或状态重构问题正为了克服状态反馈物理实现的这些困难而提出的,其核心是通过系统可量测参量（输出及输入）重新构造在一定指标下和系统真实状态等价的估计状态或重构状态,且常采用式（5-35）所示的渐近等价指标,即,（5-35）,式中,为观测误差。

实现状态重构的系统（或计算机程序）称为状态观测器,式（5-35）也称观测器存在条件。

当观测器重构状态向量的维数等于或小于被控系统状态向量维数时,分别称为全维状态观测器或降维状态观测器。

5.5.1全维观测器的构造思想,设式（5-2）所示的被控系统状态完全能观,一条重构状态向量的可能途径是对输出y（t）求导n-1次,即,（5-36）,因为能观,则其能观性判别阵的秩为n,故由式（5-36）一定可选出关于状态变量的n个独立方程,进而获得x（t）的唯一解。

可见,只要被控系统能观,理论上可通过输入、输出及它们的导数重构系统状态向量x（t）。

但这种方法要对输入、输出进行微商运算,而纯微分器难以构造;

且微分器不合理地放大输入、输出测量中混有的高频干扰,以致状态估计值产生很大误差,故从工程实际出发,该方法不可取。

为避免在状态重构中采用微分运算,一个直观的想法是构造一个与结构和参数相同的仿真系统来观测系统实际状态x（t）,且让与具有相同的输入,如图5-5所示。

图5-5开环观测器,显然,在假设矩阵A,B和C在实际被控对象中及其计算机仿真系统中相同的前提下,只要设置的初态与的初态相同,即,则可保证重构状态与系统的实际状态始终相同。

尽管只要能观,根据输入和输出的测量值总能计算出系统的初态,但每次应用图5-5所示的开环观测器均要计算并设置,计算量太大。

另一方面,开环观测器的观测误差所满足的微分方程为,（5-37）,而由于存在外界扰动和设置误差,通常,即,这时由式（5-37）可得观测误差为,（5-38）,式（5-38）表明,只有当的系统矩阵A的特征值均具有负实部时,才满足观测器存在条件,即当时间足够长时,观测误差趋于零,实现状态重构;

若为不稳定系统,则将不能复现。

一般而言,开环观测器也无实用价值。

可应用反馈控制原理对图5-5所示的开环观测器方案进行改进,即引入观测误差负反馈,以不断修正仿真系统,加快观测误差趋于零的速度。

但不可直接量测,而对应,且系统输出估计值与实际值的误差可量测,故引入输出偏差负反馈至观测器的处,构成以u和y为输入、为输出的闭环渐近状态观测器,如图5-6所示,其采用了输出反馈的另一种结构,是一种较实用的观测器结构。

图5-6闭环（渐近）状态观测器,图5-6中,G为输出偏差反馈增益矩阵（m为系统输出变量的个数），且其为实数阵。

由图5-6可得闭环状态观测器的状态方程为,（5-39）,由式（5-39）及待观测系统的状态方程,可得闭环观测器的观测误差所满足的微分方程为,（5-40）,设初始时刻,式（5-40）的解为,（5-41）,式（5-40）及式（5-41）表明,若通过选择输出偏差反馈增益矩阵G使A-GC的所有特征值均位于复平面的左半开平面,尽管初始时刻时与存在差异,观测器的状态仍将以一定精度和速度渐渐逼近系统的实际状态,即满足式（5-35）所示的渐近等价指标,故闭环观测器也称为渐近观测器。

显然,观测误差趋于零的收敛速率由观测器系统矩阵A-GC的主特征值决定,可证明若能观,则闭环观测器的极点即A-GC的特征值可通过选择偏差反馈增益矩阵G而任意配置。

5.5.2闭环观测器极点配置,1.闭环观测器极点任意配置的充分必要条件,定理5-8图5-6中的闭环状态观测器的极点可任意配置的充分必要条件是被控系统能观测。

系统能观测,只是其观测器存在的充分条件,并非必要条件。

对系统,观测器存在的充分必要条件是的不能观子系统为渐近稳定。

2.输出偏差反馈增益矩阵G的设计,