序列傅里叶变换课程设计Word文档下载推荐.doc
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1.2序列傅里叶变换的基本性质
1．线性
若
则
式中，为常数。
2．时移与频移
为任意整数
3．时域卷积定理
4．频域卷积定理
5．帕斯维尔（Parseval）定理
1.3序列傅里叶变换的对称性质
序列傅里叶变换的对称性质对于简化运算与求解很有帮助，在下一章（离散傅里叶变换，DFT）中，将这些对称性加以扩展，对DFT的计算可起很大作用。
1．共轭对称序列与共轭反对称序列
（1）共轭对称序列
设序列满足下式：
则称为共轭对称序列。
特殊地，如果是实序列，上式变成：
即此时的共轭对称序列就是偶对称序列（偶函数）。
为研究共轭对称序列具有什么性质，将用其实部与虚部表示：
对等式两边取共轭，得：
再将代入，得：
根据共轭对称序列的定义式，有：
说明共轭对称序列的实部是偶函数，而虚部是奇函数。
（2）共轭反对称序列
则称为共轭反对称序列。
即此时的共轭反对称序列就是奇对称序列（奇函数）。
将用其实部与虚部表示：
根据共轭反对称序列的定义式，有：
说明共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。
2．任一序列可表示为共轭对称序列与共轭反对称序列之和
将上式两边取共轭，并用代替，得：
上面两式相加，得：
上面两式相减，得：
很容易看出，这样得到的和分别满足共轭对称定义式和共轭反对称定义式。
3．序列的傅里叶变换可表示为共轭对称分量与共轭反对称分量之和
其中，
显然，是共轭对称的，即满足；
是共轭反对称的，即满足；
4．三个基本性质
（1）若，则
证明：
（2）若，则
（3）若，则
5．序列实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量
证明：
∵
∴
6．序列虚部乘j后的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量
7．序列的共轭对称分量的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的实部
8．序列的共轭反对称分量的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的虚部乘j
9．序列为实序列的情况
（1）
为偶对称序列、偶函数：
为奇对称序列、奇函数：
（2）
即实序列的傅里叶变换满足共轭对称性，证明提示：
（3）由
（2）得出：
所以，实序列的傅里叶变换的实部是的偶函数，而虚部是的奇函数。
（4）表示成极坐标形式：
对实序列来说，必有：
——幅度是的偶函数
——幅角是的奇函数
（5）实序列的偶对称分量和奇对称分量的傅里叶变换分别为序列傅里叶变换的实部和虚部乘j，即：
（6）若为实因果序列
根据：
和可表示为：
2仿真程序与仿真波形图
复正弦序列余弦序列
正弦序列
2.1仿真1
分别对和计算以上序列的点DFT，并绘出幅频特性曲线，最后用DFT理论解释为何两种值下的DFT结果差别如此之大。
N=15;
n=0:
N;
x1=exp（（j*pi/8）.*n）;
x2=[（n>
=0）&
（n<
=N）];
x1n=x1.*x2;
X1k=fft（x1n,16）;
%计算x1（n）的16点DFT
subplot（3,1,1）;
stem（n,real（x1n）,'
.'
）;
xlabel（'
n'
grid;
title（'
复正弦序列x1（n）'
%绘制复正弦序列x1（n）
holdon;
%实部与虚部在同一坐标上显示出
subplot（3,1,2）;
stem（n,abs（X1k）,'
%绘制x1（n）的16点DFT
k'
ylabel（'
abs（x1k）'
序列x1（n）的16点DFT'
i=0:
7;
x3=exp（（j*pi/8）.*i）;
x4=[（i>
（i<
=7）];
x1i=x3.*x4;
X1i=fft（x1i,8）;
%计算x1（n）的8点DFT
subplot（3,1,3）;
stem（i,abs（X1i）,'
%绘制x1（n）的8点DFT
abs（x1i）'
序列x1（n）的8点DFT'
图2.1复正弦序列及其16点与8点DFT
x2n=cos（（pi/8）.*n）.*x2;
X2k=fft（x2n,16）;
%计算x2（n）的16点DFT
stem（n,x2n,'
%绘制余弦序列x2（n）
余弦序列x2（n）'
stem（n,abs（X2k）,'
%绘制x2n）的16点DFT
abs（x2k）'
序列x2（n）的16点DFT'
x2i=cos（（pi/8）.*i）.*x4;
X2i=fft（x2i,8）;
%计算x2（n）的8点DFT
stem（i,abs（X2i）,'
%绘制x2（n）的8点DFT
abs（x2i）'
序列x2（n）的8点DFT'
图2.2余弦序列及其16点与8点DFT
x3n=sin（（pi/8）.*n）.*x2;
X3k=fft（x3n,16）;
%计算x3（n）的16点DFT
stem（n,x3n,'
%绘正弦序列x3（n）
正弦序列x3（n）'
stem（n,abs（X3k）,'
%绘制x3（n）的16点DFT
abs（x3k）'
序列x3（n）的16点DFT'
x3i=sin（（pi/8）.*i）.*x4;
X3i=fft（x3i,8）;
%计算x3（n）的8点DFT
stem（i,abs（X3i）,'
%绘制x3（n）的8点DFT
abs（x3i）'
序列x3（n）的8点DFT'
图2.3正弦序列及其16点与8点DFT
2.2仿真2
验证点的物理意义
⑴，绘出幅频曲线和相频曲线。
⑵计算并图示的8点。
⑶计算并图示的16点。
N=7;
I=15;
%设置两种DFT的长度
k1=n;
k2=0:
I;
w=（0:
2047）*2*pi/2048;
Xw=（1-exp（-j*4*w））./（1-exp（-j*w））;
%对x（n）的频谱采样2048点
xn=[n>
=0&
n<
4];
%产生序列x（n）
Xk1=fft（xn,8）;
%计算序列x（n）的8点DFT
Xk2=fft（xn,16）;
%计算序列x（n）的16点DFT
plot（w/pi,abs（Xw））;
%绘制序列x（n）的DTFT的幅频曲线
序列x（n）的幅频曲线|X（e^{j\omega}）|'
%绘制的8点
stem（k1*2/N1,abs（Xk1）,'
abs（xk1）'
序列x（n）的8点DFT'
stem（k2,abs（Xk2）,'
%绘制的8点
abs（xk2）'
序列x（n）的16点DFT'
）
图2.4序列的幅频曲线及其8点与16点DFT
3结果分析
如上图，第一行分别为复正弦序列，余弦序列，正弦序列N=16时的DFT幅频特性曲线；
第二行分别为三个序列N=8时的DFT幅频特性曲线。
两种N值下的DFT结果差别如此之大是因为：
X（n）的DFT结果与变换区间长度N的取值有关，变换区间长度N不同，表示对X（ejw）在[0,2π]区间上的采样间隔和采样点不同。
N=16时，X1（n）,X2（n）,X3（n）正好是三个序列的一个周期，X1（n）,X2（n）,X3（n）的周期延拓序列就是这三个单一频率的正弦序列。
N=8时，X1（n）,X2（n）,X3（n）是三个序列的半个周期。
X1（n）,X2（n）,X3（n）以N为周期的周期延拓序列不再是单一频率的正弦序列，其中含有丰富的谐波成分，其DFT结果与N=16时差别很大。
因此，对周其信号进行谱分析时，一定要截取整数个周期。
否则，得到的将是错误的频谱。
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