旋转题目 文档文档格式.docx
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3.(上海市2011年4分)Rt△ABC中,已知∠C=90°
,∠B=50°
,点D在边BC上,BD=2CD(如图).把△ABC绕着点D逆时针旋转m(0<m<180)度后,如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上,那么m=▲.
三、解答题
1.(上海市2006年12分)如图,在直角坐标系中,为原点.点在轴的正半轴上,点在轴的正半轴上,。
二次函数的图象经过点,,顶点为。
(1)求这个二次函数的解析式(5分)。
(2)将绕点顺时针旋转后,点落到点的位置。
将上述二次函数图象沿轴向上或向下平移后经过点。
请直接写出点的坐标和平移后所得图象的函数解析式(3分)。
(3)设
(2)中平移后所得二次函数图象与轴的交点为,顶点为。
点在平移后的二次函数图象上,且满足的面积是面积的倍,求点的坐标(4分)。
在△PBB1和△PDD1中,∵,∴边BB1上的高是边DD1上的高的2倍。
(3)由和,知边BB1上的高是边DD1上的高的2倍,据此,分别讨论点P在对称轴的右侧,点P在对称轴的左侧且在y轴的右侧,点P在y轴的左侧三种情况即可。
2.(2008年北京市8分)请阅读下列材料:
问题:
如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连接PG,PC.若∠ABC=∠BEF=60°
,探究PG与PC的位置关系及的值.
小聪同学的思路是:
延长GP交DC于点H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:
(1)写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值;
(2)将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在
(1)中得到的两个结论是否发生变化?
写出你的猜想并加以证明;
(3)若图1中∠ABC=∠BEF=2α(0°
<α<90°
),将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出的值(用含α的式子表示).
∵∠ABC=600,∴∠DCB=∠HCD+∠HCB=1200。
(得到P是HG中点)外还需证明△HDC≌△GBC(得出三角形CHG是等腰三角形)。
(3)∠ABC=∠BEF=2α(00<α<900),那么∠PCG=900-α,由
(1)可知:
PG:
PC=tan(900-α)。
3.(天津市2008年10分)已知Rt△ABC中,,,有一个圆心角为,半径的长等于的扇形绕点C旋转,且直线CE,CF分别与直线交于点M,N.
(Ⅰ)当扇形绕点C在的内部旋转时,如图①,求证:
;
思路点拨:
考虑符合勾股定理的形式,需转化为在直角三角形中解决.可将△沿直线对折,得△,连,只需证,就可以了.
请你完成证明过程:
(Ⅱ)当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时,关系式是否仍然成立?
若成立,请证明;
若不成立,请说明理由.
∴CG=CA,GM=AM,∠GCM=∠ACM,∠CGM=∠CAM。
又∵CA=CB,∴CG=CB。
∴∠GCN=∠GCM+∠ECF=∠GCM+450,
∠BCN=∠ACB-∠ACN=900-(∠ECF-∠ACM)=450+∠ACM。
4.(2009年北京市8分)在平行四边形ABCD中,过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1)
(1)在图1中画图探究:
①当P为射线CD上任意一点(P1不与C重合)时,连结EP1绕点E逆时针旋转得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系,并加以证明;
②当P2为线段DC的延长线上任意一点时,连结EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系,画出图形并直接写出你的结论.
(2)若AD=6,tanB=,AE=1,在①的条件下,设CP1=,S=,求与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
∴。
②如图3,当P1点在线段CH上(不与C、H两点重合)时,
【分析】
(1)①直线FG1与直线CD的位置关系为互相垂直,理由为:
△P1EC按要求旋转后得到的△G1EF全等,再结合∠P1CE=∠G1FE=900去说明。
②按题目要求所画图形见图1,直线G1G2与直线CD的位置关系为互相垂直。
(2)分①点P1在线段CH的延长线上,点P1在线段CH上和点P1与点H重合三种情况讨论即可。
5.(重庆市2009年12分)已知:
如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E.
(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;
(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G.如果DF与
(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为,那么EF=2GO是否成立?
若成立,请给予证明;
若不成立,请说明理由;
(3)对于
(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?
若存在,请求出点Q的坐标;
若不存在,请说明理由.
∴抛物线的解析式为。
(2)EF=2GO成立。
证明如下:
∵点M在该抛物线上,且它的横坐标为,∴点M的纵坐标为。
设DM的解析式为,将点D、M的坐标分别代入,得
,解得。
∴DM的解析式为。
综上所述,存在三个满足条件的点Q,即(2,2)或或。
【考点】二次函数综合题,旋转问题,矩形的性质,锐角三角函数定义,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,全等三角形的判定和性质,勾股定理和逆定理,分类思想的应用。
(1)由已知求出点E、D、C的坐标,用待定系数法即可求出抛物线的解析式。
(2)用待定系数法求出DM的解析式,通过证明即可得到EF=2GO的结论。
(3)分PG=PC,PG=GC,PC=GC讨论即可。
6.(重庆市2010年12分)已知:
如图
(1),在平面直角坐标xOy中,边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限,顶点A在x轴的正半轴上.另一等腰△OCA的顶点C在第四象限,OC=AC,∠C=120°
.现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发,点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动,点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止.
(1)求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系,并写出自变量t的取值范围;
(2)在等边△OAB的边上(点A除外)存在点D,使得△OCD为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点D的坐标;
(3)如图
(2),现有∠MCN=60°
,其两边分别与OB、AB交于点M、N,连接MN.将∠MCN绕着C点旋转(0°
<旋转角<60°
),使得M、N始终在边OB和边AB上.试判断在这一过程中,△BMN的周长是否发生变化?
若没有变化,请求出其周长;
若发生变化,请说明理由.
∴∠FCN=∠MCN。
又∵MC=CF,CN=CN,∴△MCN≌△FCN。
∴MN=NF。
(3)如果延长BA至点F,使AF=OM,连接CF,则由SAS可证△MOC≌△FAC,得出MC=CF,再由SAS证出△MCN≌△FCN,得出MN=NF,那么△BMN的周长=BA+BO=4。
7.(天津市2011年10分)在平面直角坐标系中.已知O坐标原点.点A(3.0),B(0,4).以点A为旋转中心,把△ABO顺时针旋转,得△ACD.记旋转转角为α.∠ABO为β.
(I)如图①,当旋转后点D恰好落在AB边上时.求点D的坐标;
(Ⅱ)如图②,当旋转后满足BC∥轴时.求α与β之闻的数量关系;
(Ⅲ)当旋转后满足∠AOD=β时.求直线CD的解析式(直接写出即如果即可),
【答案】解:
(I)∵点A(3,0),B(0,4),∴0A=3,OB=4。
∴在Rt△ABO中.由勾股定理.得AB=。
【考点】旋转的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,三角形内角和定理,平行的性质。
(I)作辅助线DM⊥轴,由勾股定理求出AB的长,由相似三角形对应边成比例的性质即可求出。
∴∠ADB=∠AOB=900。
又∵∠ADC=900,∴B在直线CD上。
8.(2012年北京市7分)在中,,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ。
(1)若且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出∠CDB的度数;
(2)在图2中,点P不与点B,M重合,线段CQ的延长线与射线BM交于点D,猜想∠CDB的大小(用含的代数式表示),并加以证明;
(3)对于适当大小的,当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B,M重合)时,能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQ=QD,请直接写出的范围。
(1)补全图形如下:
(3)由
(2)得出∠CDB=90°
-α,且PQ=QD,
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°
-2α。
∵点P不与点B,M重合,∴∠BAD>∠PAD>∠MAD。
∴2α>180°
-2α>α,∴45°
<α<60°
。