数值分析作业Word文件下载.docx
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解1
1.1判断矩阵A1是否病态
程序如下:
>
A1=[0.3*10^-15,59.14,3,1;
5.291,-6.130,-1,2;
11.2,9,5,2;
1,2,1,1];
cond（A1=,1）
结果如下:
ans=
136.2945
cond（A1,inf）
结果如下
84.3115
cond（A1,2）
结果如下
68.4296
因为cond（A1,1）=136.2945》1；
cond（A1,2）=68.4296》1；
cond（A1,inf）=84.3115》1所以该矩阵A1是病态矩阵。
1.2判断矩阵A2是否病态
A2=[10,-7,0,1;
-3,2.099999999999,6,2;
5,-1,5,-1;
0,1,0,2];
cond（A2,1）
19.2832
A2=[10,-7,0,1;
cond（A2,2）
8.9939
cond（A2,inf）
ans=
18.3564
因为cond（A2,1）=19.2832》1；
cond（A2,2）=8.9939》1；
cond（A2,inf）=18.3564》1所以该矩阵A2是病态矩阵。
2高斯列主元消去法程序如下：
functionx=gauss（A,b）%高斯求解方程组
%x=gauss（A,b）
n=length（A）;
a=[A,b];
fork=1:
n-1
maxa=max（abs（a（k:
n,k）））;
ifmaxa==0
return;
end
fori=k:
n
ifabs（a（i,k））==maxa
y=a（i,k:
n+1）;
a（i,k:
n+1）=a（k,k:
a（k,k:
n+1）=y;
break;
fori=k+1:
l（i,k）=a（i,k）/a（k,k）;
a（i,k+1:
n+1）=a（i,k+1:
n+1）-l（i,k）.*a（k,k+1:
%回代
ifa（n,n）==0
return
x（n）=a（n,n+1）/a（n,n）;
fori=n-1:
-1:
1
x（i）=（a（i,n+1）-sum（a（i,i+1:
n）.*x（i+1:
n）））/a（i,i）;
执行下列程序：
A=[0.3*10^（-15）,59.14,3,1;
b=[59.17;
46.78;
1;
2];
x=gauss（A,b）
得到结果如下：
x=
3.84571.6095-15.476110.4113
A=[10,-7,0,1;
b=[8;
5.900000000001;
5;
1];
0.0000-1.00001.00001.0000
2.1选列主元的分解如下：
2.1.1对A1进行列主元分解程序如下：
[L,U,P]=lu（A1）
结果如下：
L=
1.0000000
0.00001.000000
0.4724-0.17551.00000
0.08930.0202-0.17381.0000
U=
11.20009.00005.00002.0000
059.14003.00001.0000
00-2.83541.2307
0001.0151
P=
0010
1000
0100
2.1.2对A2进行列主元分解程序如下：
A2=[10,-7,0,1;
[L,U,P]=lu（A2）
L=
1.0000000
0.50001.000000
-0.3000-0.00001.00000
00.4000-0.33331.0000
U=
10.0000-7.000001.0000
02.50005.0000-1.5000
006.00002.3000
0003.3667
P=
1000
0010
0100
0001
3.不用选主元的gauss的程序如下：
functionx=gauss（a,b）;
%编写高斯消去法函数
%a表示方程组的系数矩阵，b表示方程组的值
%X表示最终的输出结果，即方程组的解
n=length（b）;
%计算方程组的维数
%下面的程序在不断的消去，直到变成a变成上三角矩阵未知
a（i,k）=a（i,k）/a（k,k）;
forj=k+1:
a（i,j）=a（i,j）-a（i,k）*a（k,j）;
b（i）=b（i）-a（i,k）*b（k）;
%表示高斯消去法的回带过程
x=zeros（n,1）;
x（n）=b（n）/a（n,n）;
fork=n-1:
s=b（k）;
s=s-a（k,j）*x（j）;
x（k）=s/a（k,k）;
3.84571.6095-15.476110.4113
3.1不选列主元的分解如下：
[L,U]=lu（A1）
L~=
0.00001.000000
0.4724-0.17551.00000
0.08930.0202-0.17381.0000
U~=
11.20009.00005.00002.0000
059.14003.00001.0000
00-2.83541.2307
0001.0151
[L,U]=lu（A2）
L~=
0.50001.000000
00.4000-0.33331.0000
U~=
10.0000-7.000001.0000
4.分析小元对计算结果的影响
观察分析可知：
小元对计算结果的影响非常大。
小元的存在会使得到的计算结果有非常大的误差。
实验3.2方程组的性态和条件数实验
实验目的：
理解条件数的意义和方程组的性态对解向量的影响
实验要求：
对A1，取Xk=1+0.1k,k=0,1,...,n,下面均用Matlab函数"
x=A\b"
计算方程的解。
1取n=4,6,8，分别求出A1，A2的条件数，判断他们是否是病态阵？
随n的增大矩阵性态的变化如何？
2取n=5,分别求出两个方程的解向量X1,X2
3取N=5，b不变,对A1的元素a22和a66分别加一个扰动10^-14，分别求出第一个方程组的解向量x;
若A1不变，对b的元素加一个扰动10^-4，求出X
4取n=6,b不变，对A2的元素a22和a66分别加一个扰动10^-7分别求出第二个方程组的解向量X
5观察和分析A1,A2和微小扰动对解向量的影响，得出你的结论。
6求
解1
当n=4时程序如下：
A1=[1,1,1,1,1;
1,1.1,1.1^2,1.1^3,1.1^4;
1,1.2,1.2^2,1.2^3,1.2^4;
1,1.3,1.3^2,1.3^3,1.3^4;
1,1.4,1.4^2,1.4^3,1.4^4];
cond（A1,1）
ans
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