学年湘教版数学九年级上册 44 解直角三角形的应用Word文件下载.docx
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与同伴进行交流.
【教学说明】经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决实际问题中的应用.
二、思考探究,获取新知
1.某探险者某天到达如图所示的点A处,他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离.你能帮他想出一个可行的办法吗?
分析:
如图,BD表示点B的海拔,AE表示点A的海拔,AC⊥BD,垂足为点C.先测量出海拔AE,再测出仰角∠BAC,然后用锐角三角函数的知识就可以求出A、B之间的水平距离AC.
【归纳结论】当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫作仰角,在水平线下方的角叫作俯角.
2.如图,在离上海东方明珠塔底部1000m的A处,用仪器测得塔顶的仰角为25°
,仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高度.(结果精确到1m)
解:
在Rt△ABC中,∠BAC=25°
,AC=1000m,因此tan25°
==
∴BC=1000×
tan25°
≈466.3(m),
∴上海东方明珠塔的高度(约)为466.3+1.7=468米.
【教学说明】利用实际问题承载数学问题,提高了学生的学习兴趣.教师要帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角形问题,从而解决问题.
三、运用新知,深化理解
1.如图,某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1200米,从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°
31′,求飞机A到控制点B的距离.(精确到1米)
利用正弦可求.
在Rt△ABC中sinB=
∴AB==≈4221(米)
答:
飞机A到控制点B的距离约为4221米.
2.热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°
,看这栋高楼底部的俯角为60°
,热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?
在Rt△ABD中,α=30°
,AD=120.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;
类似地可以求出CD,进而求出BC.
如图,α=30°
,β=60°
,AD=120.
∵tanα=,tanβ=,
∴BD=ADtanα=120×
tan30°
=120×
=40,CD=ADtanβ=120×
tan60°
=120.
∴BD=BD+CD=40+120=160≈227.1
这栋高楼约高277.1m.
3.如图,在离树BC12米的A处,用测角仪测得树顶的仰角是30°
,测角仪AD高为1.5米,求树高BC.(计算结果可保留根号)
本题是一个直角梯形的问题,可以通过过点D作DE⊥BC于E,把求CB的问题转化求BE的长,从而可以在△BDE中利用三角函数.
过点D作DE⊥BC于E,则四边形DECA是矩形,∴DE=AC=12米.CE=AD=1.5米.在直角△BED中,∠BDE=30°
,
=,
∴BE=DE·
=4米.
∴BC=BE+CE=(4+)米.
4.广场上有一个充满氢气的气球P,被广告条拽着悬在空中,甲乙二人分别站在E、F处,他们看气球的仰角分别是30°
、45°
,E点与F点的高度差AB为1米,水平距离CD为5米,FD的高度为0.5米,请问此气球有多高?
(结果保留到0.1米)
由于气球的高度为PA+AB+FD,而AB=1米,FD=0.5米,故可设PA=h米,根据题意,列出关于h的方程可求解.
设AP=h米,∵∠PFB=45°
∴BF=PB=(h+1)米,
∴EA=BF+CD=h+1+5=(h+6)米,
在Rt△PEA中,PA=AE·
∴h=(h+6)tan30°
∴气球的高度约为PA+AB+FD=8.2+1+0.5=9.7米.
【教学说明】巩固所学知识.要求学生学会把实际问题转化成数学问题;
根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边,本题已知什么,求什么.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:
教材“习题4.4”中第2、4、5题.
教学反思
本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题,对于这些问题,一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题,另一方面,针对转化而来的数学问题应选用适当的数学知识加以解决.
第2课时 坡度和方位角问题
1.了解测量中坡度、坡角的概念;
2.掌握坡度与坡角的关系,能利用解直角三角形的知识,解决与坡度、与弧长的有关实际问题.
通过对例题的学习,使学生能够利用所学知识解决实际问题.
进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
能利用解直角三角形的知识,解决与坡度、与弧长有关的实际问题.
能利用解直角三角形的知识,解决与坡度、与弧长的有关实际问题.
如图所示,斜坡AB和斜坡A1B1,哪一个倾斜程度比较大?
显然,斜坡A1B1的倾斜程度比较大,说明∠A1>∠A.
从图形可以看出,>,即tanA1>tanA.
【教学说明】通过实际问题的引入,提高学生学习的兴趣.
1.坡度的概念,坡度与坡角的关系.
如上图,这是一张水库拦水坝的横断面的设计图,坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比),记作i,即i=,坡度通常用l∶m的形式,例如上图中的1∶2的形式.坡面与水平面的夹角叫作坡角,记作α.从三角函数的概念可以知道,坡度与坡角的关系是i=tanB,显然,坡度越大,坡角越大,坡面就越陡.
2.如图,一山坡的坡度为i=1∶2,小刚从山脚A出发,沿山坡向上走了240米到达点C,这座山坡的坡角是多少度?
小刚上升了多少米?
(角度精确到0.01°
,长度精确到0.1米)
3.如图,一艘船以40km/h的速度向正东航行,在A处测得灯塔C在北偏东60°
方向上,继续航行1h到达B处,这时测得灯塔C在北偏东30°
方向上,已知在灯塔C的四周30km内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全?
【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么,将图形中的信息转化为图形中的已知条件,再分析图形求出问题.学生独立完成.
1.如图,在山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m,测得斜坡的倾斜角是24°
,求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m).
引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形.
已知:
在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=5.5,∠A=24°
,求AB.
在Rt△ABC中,cosA=,
∴AB==≈6.0(米).
斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米.
2.同学们,如果你是修建三峡大坝的工程师,现在有这样一个问题请你解决:
如图水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求斜坡AB的坡面角α,坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m).
作BE⊥AD,CF⊥AD,
在Rt△ABE和Rt△CDF中,
=,=
∴AE=3BE=3×
23=69(m).
FD=2.5CF=2.5×
23=57.5(m).
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m).
因为斜坡AB的坡度i=tanα=≈0.3333,
所以α≈18°
26′.
∵=sinα,
∴AB==≈72.7(m).
斜坡AB的坡角α约为18°
26′,坝底宽AD为132.5米,斜坡AB的长约为72.7米.
3.庞亮和李强相约周六去登山,庞亮从北坡山脚C处出发,以24米/分钟的速度攀登,同时,李强从南坡山脚B处出发.如图,已知小山北坡的坡度i=1∶,山坡长为240米,南坡的坡角是45°
.问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A?
(将山路AB、AC看成线段,结果保留根号)
过点A作AD⊥BC于点D,
在Rt△ADC中,由i=1∶得tanC==,
∴∠C=30°
.∴AD=AC=×
240=120(米).
在Rt△ABD中,∠B=45°
∴AB=AD=120(米).
120÷
(240÷
24)=120÷
10=12(米/分钟)
李强以12米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A.
4.某公园有一滑梯,横截面如图所示,AB表示楼梯,BC表示平台,CD表示滑道.若点E,F均在线段AD上,四边形BCEF是矩形,且sin∠BAF=,BF=3米,BC=1米,CD=6米.求:
(1)∠D的度数;
(2)线段AE的长.
(1)∵四边形BCEF是矩形,
∴∠BFE=∠CEF=90°
,CE=BF,BC=FE,
∴∠BFA=∠CED=90°
∵CE=BF,BF=3米,
∴CE=3米,∵CD=6米,∠CED=90°
∴∠D=30°
.
(2)∵sin∠BAF=,
∴=,∵BF=3米,∴AB=米,
∴AF==米,
∴AE=米.
5.日本福岛发生核电站事故后,我国国家海洋局高度关注事态发展,紧急调集海上巡逻的海检船,在相关海域进行现场监测与海水采样,针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估.如图,上午9时,海检船位于A处,观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°
方向,海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶,下午2时海检船到达B处,这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°
方向,求此时海检船所在B处与城市P的距离.
(参考数据:
sin36.9°
≈,tan36.9°
≈,sin67.5°
≈,tan67.5°
≈)
过点P作PC⊥AB,构造直角三角形,设PC=x海里,用含有x的式子表示AC,BC的值,从而求出x的值,再根据三角函数值求出BP的值即可解答.
过点P作PC⊥AB,垂足为C,设PC=x海里.
在Rt△APC中,∵tanA=,
∴AC==
在Rt△PCB中,∵tanB=,
∴BC==
∵从上午9时到下午2时要经过五个小时,
∴AC+BC=AB=21×
5,
∴+=21×
解得x=60.
∵sin∠B=,
∴PB===60×
=100(海里)
∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里.
【教学说明】通过练习,巩固本节课所学内容.
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
教材“习题4.1”中第1、6、7题.
通过本节课的学习,使学生知道坡度、坡角的概念,能利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题,特别是与梯形有关的实际问题,懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决.
复习与提升
1.了解锐角三角函数的概念,熟记30°
、60°
的正弦、余弦和正切的函数值.
2.能够正确地使用计算器,由已知锐角的度数求出它的三角函数值,由已知三角函数值求出相应的锐角的度数.