高一数学必修一 教案 第2课时 奇偶性的应用Word格式.docx
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4．函数f（x）为偶函数，若x>
0时，f（x）＝x，则x<
0时，f（x）＝________.
答案 －x
解析 方法一 令x<
0，则－x>
0，
∴f（－x）＝－x，
又∵f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），
∴f（x）＝－x（x<
0）．
方法二 利用图象（图略）可得x<
0时，f（x）＝－x.
一、利用函数的奇偶性求解析式
命题角度1 求对称区间上的解析式
例1 函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>
0时，f（x）＝－x＋1，求当x<
0时，f（x）的解析式．
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
解 设x<
∴f（－x）＝－（－x）＋1＝x＋1，
又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴当x<
0时，f（x）＝－f（－x）＝－x－1.
反思感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．
跟踪训练1 已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x（1＋x），求f（x）的解析式．
解 因为x∈（－∞，0）时，－x∈（0，＋∞），
所以f（－x）＝－x[1＋（－x）]＝x（x－1）．
因为f（x）是R上的奇函数，
所以f（x）＝－f（－x）＝－x（x－1），x∈（－∞，0）．
f（0）＝0.
所以f（x）＝
命题角度2 构造方程组求解析式
例2 设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝，求函数f（x），g（x）的解析式．
解 ∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，
∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），
由f（x）＋g（x）＝.①
用－x代替x，
得f（－x）＋g（－x）＝，
∴f（x）－g（x）＝，②
（①＋②）÷
2，得f（x）＝；
（①－②）÷
2，得g（x）＝.
反思感悟 f（x）＋g（x）＝对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如x＝－x.
利用f（x），g（x）一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f（x），g（x）的二元方程组，从中解出f（x）和g（x）．
跟踪训练2 设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋2x，求函数f（x），g（x）的解析式．
由f（x）＋g（x）＝2x＋x2.①
得f（－x）＋g（－x）＝－2x＋（－x）2，
∴f（x）－g（x）＝－2x＋x2，②
2，得f（x）＝x2；
2，得g（x）＝2x.
二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小
例3 设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是（ ）
A．f（π）>
f（－3）>
f（－2）
B．f（π）>
f（－2）>
f（－3）
C．f（π）<
f（－3）<
D．f（π）<
f（－2）<
答案 A
解析 因为函数f（x）为R上的偶函数，
所以f（－3）＝f（3），f（－2）＝f
（2）．
又当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，且π>
3>
2，
所以f（π）>
f（3）>
f
（2），故f（π）>
f（－2）．
反思感悟 利用函数的奇偶性与单调性比较大小
（1）自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
（2）自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
跟踪训练3
（1）已知偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，则f
（1）和f（－10）的大小关系为（ ）
A．f
（1）>
f（－10）B．f
（1）<
f（－10）
C．f
（1）＝f（－10）D．f
（1）和f（－10）关系不定
解析 ∵f（x）是偶函数，且在[0，＋∞）上单调递减，
∴f（－10）＝f（10）<
（2）定义在R上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间[0，＋∞）上的图象与f（x）的图象重合，设a>
b>
0，下列不等式中成立的有________．（填序号）
①f（a）>
f（－b）；
②f（－a）>
f（b）；
③g（a）>
g（－b）；
④g（－a）<
g（b）；
⑤g（－a）>
f（－a）．
答案 ①③⑤
解析 f（x）为R上奇函数，增函数，且a>
∴f（a）>
f（b）>
f（0）＝0，
又－a<
－b<
0，∴f（－a）<
f（－b）<
0>
f（－b）>
f（－a），
∴①正确，②错误．
x∈[0，＋∞）时，g（x）＝f（x），
∴g（x）在[0，＋∞）上单调递增，
∴g（－a）＝g（a）>
g（b）＝g（－b），∴③正确，④错误．
又g（－a）＝g（a）＝f（a）>
f（－a），∴⑤正确．
三、利用函数的奇偶性与单调性解不等式
例4
（1）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上是增函数．若f（－3）＝0，则<
0的解集为________．
答案 {x|－3<
x<
0或x>
3}
解析 ∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上是增函数，
∴f（x）在区间（0，＋∞）上是减函数．
∴f（3）＝f（－3）＝0.
当x>
0时，由f（x）<
0，解得x>
3；
当x<
0时，由f（x）>
0，解得－3<
0.
故所求解集为{x|－3<
3}．
（2）已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足f（2x－1）<
f的x的取值范围为（ ）
A.B.
C.D.
解析 由于f（x）为偶函数，且在[0，＋∞）上单调递增，则不等式f（2x－1）<
f，
即－<
2x－1<
，
解得<
.
反思感悟 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类
（1）利用图象解不等式；
（2）转化为简单不等式求解．
①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f（x1）<
f（x2）或f（x1）>
f（x2）的形式；
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式（组）求解．
跟踪训练4 设定义在[－2,2]上的奇函数f（x）在区间[0,2]上是减函数，若f（1－m）<
f（m），求实数m的取值范围．
解 因为f（x）是奇函数且f（x）在[0,2]上是减函数，
所以f（x）在[－2,2]上是减函数．
所以不等式f（1－m）<
f（m）等价于
解得－1≤m<
所以实数m的取值范围为.
1．若函数f（x）是R上的偶函数，且在区间[0，＋∞）上是增函数，则下列关系成立的是（ ）
A．f（－3）>
f（0）>
f
（1）
B．f（－3）>
f
（1）>
f（0）
C．f
（1）>
D．f
（1）>
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 B
解析 ∵f（－3）＝f（3），且f（x）在区间[0，＋∞）上是增函数，∴f（－3）>
f（0）．
2．定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，若f（a）<
f（b），则一定可得（ ）
A．a<
bB．a>
b
C．|a|<
|b|D．0≤a<
b或a>
b≥0
答案 C
3．已知函数f（x）为偶函数，且当x<
0时，f（x）＝x＋1，则x>
答案 －x＋1
解析 当x>
0时，－x<
0，∴f（－x）＝－x＋1，
又f（x）为偶函数，∴f（x）＝－x＋1.
4.奇函数f（x）在区间[0，＋∞）上的图象如图，则函数f（x）的增区间为________．
答案 （－∞，－1]，[1，＋∞）
解析 奇函数的图象关于原点对称，可知函数f（x）的增区间为（－∞，－1]，[1，＋∞）．
5．已知偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，f
（2）＝0.若f（x－1）>
0，则x的取值范围是________．
答案 （－1,3）
解析 因为f（x）是偶函数，所以f（x－1）＝f（|x－1|）．
又因为f
（2）＝0，
所以f（x－1）>
0可化为f（|x－1|）>
f
（2）．
又因为f（x）在[0，＋∞）上单调递减，
所以|x－1|<
2，解得－2<
x－1<
所以－1<
3.
1．知识清单：
（1）利用奇偶性，求函数的解析式．
（2）利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式．
2．方法归纳：
利用函数的奇偶性、单调性画出函数的简图，利用图象解不等式和比较大小，体现了数形结合思想和直观想象数学素养．
3．常见误区：
解不等式易忽视函数的定义域．
1．设函数f（x）＝且f（x）为偶函数，则g（－2）等于（ ）
A．6B．－6C．2D．－2
解析 g（－2）＝f（－2）＝f
（2）＝22＋2＝6.
2．如果奇函数f（x）在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5，那么函数f（x）在区间[1,3]上是（ ）
A．增函数且最小值为－5
B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5
D．减函数且最大值为－5
解析 f（x）为奇函数，∴f（x）在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f
（1）为最小值，
又已知f（－1）＝5，∴f（－1）＝－f
（1）＝5，
∴f
（1）＝－5，故选A.
3．已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，且f（x）在[0，＋∞）上是减函数，若f（a）≥f（－2），则a的取值范围是（ ）
A．a≤－2B．a≥2
C．a≤－2或a≥2D．－2≤a≤2
答案 D
解析 由f（a）≥f（－2）得f（|a|）≥f
（2）
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