《运筹学教程》第三章习题答案文档格式.docx

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所以

3

（1）.minp=6y1+2y2

s.t.-y1+2y2≥-3

3y1+3y2≥4

y1,y2≥0

（2）解：

令X2=X2′-X2〞，X4=X4′-X4〞，X2′，X2〞，X4′，X4〞≥0，原式化为：

maxz=2X1+2X2′-2X2〞-5X3+2X4′-2X4〞

s.t.2X1-X2′+X2〞+3X3+3X4′-3X4〞≤-5

-2X1+X2′-X2〞-3X3-3X4′+3X4〞≤5

-6X1-5X2′+5X2〞+X3-5X4′+5X4〞≤-6

10X1-9X2′+9X2〞+6X3+4X4′-4X4〞≤12

X1,X2′，X2〞，X3,X4′，X4〞≥0

则对偶规划为：

.

minp=-5y1′+5y1〞-6y2+12y3

s.t.2y1′-2y1〞-6y2+10y3≥2

-y1′+y1〞-5y2-9y3≥2

y1′-y1〞+5y2+9y3≥-2

3y1′-3y1〞+y2+6y3≥-5

3y1′-3y1〞-5y2+4y3≥2

-3y1′+3y1〞+5y2-4y3≥-2

即：

-y1′+y1〞-5y2-9y3=2

3y1′-3y1〞+5y2+4y3=2

令y1〞-y1′=y1，得：

minp=5y1-6y2+12y3

s.t.-2y1-6y2+10y3≥2

y1-5y2-9y3=2

-3y1+y2+6y3≥-5

-3y1-5y2+4y3=2

4、试用对偶理论讨论下列原问题与他们的对偶问题是否有最优解。

（1）

解：

其对偶问题为：

由图中可知，对偶问题无解，根据对偶理论，原问题也无解。

（2）

从图中可知，当（）=（0，-2）时，目标函数有最优值，=-12，根据对偶理论，原问题最优值与对偶问题相同，为=-12。

5.考虑如下线性规划

（1）写出对偶线性规划；

（2）用单纯形法解对偶规划，并在最优表中给出原规划的最优解；

（3）说明这样做比直接求解原规划的好处。

（1）对偶线性规划为：

（2）将原规划的对偶规划化为标准形式：

得到其初始单纯形表，经过两次旋转运算后得到最优表，最优解为，最优值为，因此原规划的最优解为，最优值为。

（3）这样做的好处是不用引入人工变量，对偶规划中的约束条件均为非大于号，可以直接运用单纯形法。

基础变量

y1

y2

y3

y4

y5

y6

y7

y8

常数项

1

2

3

5

-p

-7

-8

-6

-5

-1

8

16

6

22

6、用对偶单纯形方法，求解下面问题。

（1）minf=5X1+3X2+4X3

2X1+3X2+2X3≥6

4X1+3X2+5X3≥10

X1，X2，X3≥0

（2）maxZ=-X1-3X2-3X3

2X1-3X2+X3≥4

X1+2X2+2X3≤8

2X2-X3≤2

（1）先将此问题化成下列形式：

maxZ=-5X1-3X2-4X3

-2X1-3X2-2X3+X4=-6

-4X1-3X2-5X3+X5=-10

Xi≥0（i=1,2,3,4,5）

建立此问题的初始单纯形表并进行运算如下：

Cj

-4

-3

CB

XB

b

X1

X2

X3

X4

X5

-2

-10

5/4

4/5

-2/5

-9/5

3/5

-1/5

-3/5

-4/5

9/2

1/3

1/2

10/9

2/9

-5/9

4/3

2/3

-1/3

-5/3

-2/3

原问题的对偶规划问题为：

MaxP=6Y1+Y2

2Y1+4Y2≤5

3Y1+3Y2≤3

2Y1+5Y2≤4

Y1，Y2≥0

最终表中b列数字全为非负，检验数全为非正，所以得出原问题最优解与最优值分别为：

X*=（0，10/9，4/3）T

f*=3×

（10/9）+4×

（4/3）=26/3

对偶问题的最优解与最优值分别为：

Y*=（1/3，2/3）T

P*=6×

（1/3）+10×

（2/3）=26/3=f*

（2）先将此问题化成下列形式：

maxZ=-X1-3X2-2X3

-2X1+3X2-X3+X4=-4

X1+2X2+2X3+X5=8

2X2-X3+X6=2

Xi≥0（i=1,2,3,4,5,6）

X6

-3/2

-1/2

7/2

3/2

-9/2

MinP=-4Y1+8Y2+2Y3

-2Y1+Y2≥-1

3Y1+2Y2+2Y3≥-3

-Y1+2Y2-Y3≥-2

Y1，Y2，Y3≥0

X*=（2，0，0）T

Z*=-1×

2=-2

Y*=（1/2，0,0）T

P*=-4×

（1/2）=-2=Z*

7．已知线性规划问题：

写出其对偶问题，并求一个对偶问题的可行解。

其对偶问题为

在可行域中任取可行解：

。

8、考虑下面线性规划

maxZ=2X1+3X2

2X1+2X2+X3=12

X1+2X2+X4=8

4X1+X5=16

4X2+X6=12

Xj≥0，j=1,2,…,6

其最优单纯形表如表3-7所示，试分析如下问题：

（1）当C2=5时，求新最优解。

（2）当b3=4时，求新最优解。

（3）增加一个约束2X1+2.4X2≤12，对最优解有何影响。

表3-7

基变量

-1/4

4

1/4

-1/8

-14

由最优单纯形表所示结果及灵敏度变动思想求解最优解不变的C2变动范围：

（-3/2）/（1/3）≤△C2≤（-1/8）/（-1/8）

-3≤△C2≤1

即0≤C2≤4

而题设条件为：

新C2=5，超出变动范围，故最优解发生变动，需重新求解。

C2值发生变动后，影响的值，故新的值分别为：

=（-3/2）-（1/2）×

（5-3）=-5/2

=（-1/8）-（-1/8）×

（5-3）=1/8

继续上述最优单纯形表的计算：

-5/2

1/8