1、所以3(1).minp=6y1 + 2y2s.t. -y1+2y2-33y1+3y24y1,y20(2)解:令X2=X2-X2,X4= X4-X4,X2,X2,X4,X40 ,原式化为:maxz=2X1 +2X2-2X2-5X3 +2X4-2X4s.t. 2X1 -X2+X2+3X3 +3X4-3X4-5-2X1 +X2-X2-3X3 -3X4+3X45-6X1 -5X2+5X2+X3 -5X4+5X4-610X1 -9X2+9X2+6X3 +4X4-4X412X1, X2,X2,X3, X4,X40则对偶规划为:.minp= -5y1 + 5y1-6y2 + 12y3s.t. 2y1 -2y
2、1-6y2 + 10y32-y1 +y1-5y2 -9y32y1 -y1+5y2 + 9y3-23y1 -3y1+y2 + 6y3-53y1 -3y1-5y2 + 4y32-3y1 +3y1+5y2 -4y3-2即:-y1 +y1-5y2 -9y3=23y1 -3y1+5y2 + 4y3=2令 y1 - y1= y1,得:minp= 5y1 -6y2 + 12y3s.t. -2y1-6y2 + 10y32y1-5y2 -9y3=2-3y1+y2 + 6y3-5 -3y1-5y2 + 4y3=24、试用对偶理论讨论下列原问题与他们的对偶问题是否有最优解。(1) 解:其对偶问题为:由图中可知,对偶
3、问题无解,根据对偶理论,原问题也无解。(2)从图中可知,当()=(0,-2)时,目标函数有最优值, =-12,根据对偶理论,原问题最优值与对偶问题相同,为=-12。5.考虑如下线性规划(1)写出对偶线性规划;(2)用单纯形法解对偶规划,并在最优表中给出原规划的最优解;(3)说明这样做比直接求解原规划的好处。(1)对偶线性规划为:(2)将原规划的对偶规划化为标准形式:得到其初始单纯形表,经过两次旋转运算后得到最优表,最优解为,最优值为,因此原规划的最优解为,最优值为。(3)这样做的好处是不用引入人工变量,对偶规划中的约束条件均为非大于号,可以直接运用单纯形法。基础变量y1y2y3y4y5y6y7
4、y8常数项1235-p-7-8-6-5-18166226、用对偶单纯形方法,求解下面问题。(1)minf=5 X1+3 X2+4 X3 2 X1+3 X2+2 X36 4 X1+3 X2+5 X310 X1 ,X2 ,X30(2)maxZ= -X1-3 X2-3 X3 2 X1-3 X2+ X34 X1+2 X2+2 X38 2 X2- X32(1)先将此问题化成下列形式:maxZ=-5 X1-3 X2-4 X3-2 X1-3 X2-2 X3+X4=-6-4 X1-3 X2-5 X3+ X5=-10Xi0(i =1,2,3,4,5)建立此问题的初始单纯形表并进行运算如下:Cj-4-3CBXBb
5、X1X2X3X4X5-2-105/44/5-2/5-9/53/5-1/5-3/5-4/59/21/31/210/92/9-5/94/32/3-1/3-5/3-2/3原问题的对偶规划问题为:MaxP=6Y1+Y22Y1+4Y253Y1+3Y232Y1+5Y24Y1 ,Y20最终表中b列数字全为非负,检验数全为非正,所以得出原问题最优解与最优值分别为:X*=(0,10/9,4/3)T f*=3(10/9)+4(4/3)=26/3对偶问题的最优解与最优值分别为:Y*=(1/3,2/3)T P*=6(1/3)+10(2/3)=26/3= f*(2) 先将此问题化成下列形式:maxZ=-X1-3X2-2
6、X3-2 X1+3 X2-X3+X4=-4X1+2X2+2 X3+ X5=82 X2-X3+X6=2Xi0(i =1,2,3,4,5,6)X6-3/2-1/27/23/2-9/2MinP=-4Y1+8 Y2+2Y3-2 Y1+ Y2-1 3 Y1+2 Y2+2Y3-3-Y1+2 Y2- Y3-2Y1 ,Y2 ,Y30X*=(2,0,0)T Z*=-12=-2Y*=(1/2,0,0)T P*=-4(1/2)=-2= Z*7已知线性规划问题:写出其对偶问题,并求一个对偶问题的可行解。其对偶问题为在可行域中任取可行解:。8、考虑下面线性规划maxZ=2X1+3X2 2 X1+2X2+X3 =12X1
7、+2X2 + X4=84X1 +X5=164X2 +X6=12Xj0,j =1,2,6其最优单纯形表如表3-7所示,试分析如下问题:(1) 当C2=5时,求新最优解。(2) 当b3=4时,求新最优解。(3) 增加一个约束2X1 +2.4X212,对最优解有何影响。表3-7基变量-1/441/4-1/8-14由最优单纯形表所示结果及灵敏度变动思想求解最优解不变的C2变动范围: (-3/2)/(1/3)C2(-1/8)/(-1/8) -3C21即 0C24而题设条件为: 新C2=5,超出变动范围,故最优解发生变动,需重新求解。C2值发生变动后,影响的值,故新的值分别为:=(-3/2)-(1/2)(5-3)=-5/2=(-1/8)-(-1/8)(5-3)=1/8继续上述最优单纯形表的计算:-5/21/8
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