三年高考数学理真题分类解析专题11解三角形Word文档下载推荐.docx

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2018天津,13

选择题

填空题

★★★

2.正、余弦定理的应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题

2018课标全国Ⅱ,17;

2018课标全国Ⅲ,17;

2018江苏,18;

2018课标全国Ⅲ,8;

2018山东,16;

2018浙江,16;

2018湖北,13

解答题

分析解读

1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题,需要综合应用两个定理及三角形有关知识.

2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.会利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.

2018年高考全景展示

1．【2018年理数全国卷II】在中，，，，则

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】分析：

先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.

详解：

因为所以，选A.

点睛：

解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

2．【2018年浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°

，则sinB=___________，c=___________．

【答案】3

解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

3．【2018年全国卷Ⅲ理】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则

【答案】C

利用面积公式和余弦定理进行计算可得。

由题可知，所以，由余弦定理，所以，，，故选C.

本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。

4．【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．

【答案】9

先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.

由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.

在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.

5．【2018年理数天津卷】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.

（I）求角B的大小；

（II）设a=2，c=3，求b和的值.

【答案】

（Ⅰ）；

（Ⅱ），.

（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．

（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得

（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．

在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．

6．【2018年理北京卷】在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–．

（Ⅰ）求∠A；

（Ⅱ）求AC边上的高．

（1）∠A=

（2）AC边上的高为

（1）先根据平方关系求sinB,再根据正弦定理求sinA，即得∠A；

（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求，解得AC边上的高．

解：

（Ⅰ）在△ABC中，∵cosB=–，∴B∈（，π），∴sinB=．由正弦定理得=，∴sinA=．∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．

（Ⅱ）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==．

如图所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，∴AC边上的高为．

7．【2018年理新课标I卷】在平面四边形中，，，，.

（1）求；

（2）若，求.

【答案】

（1）.

（2）.

（1）根据正弦定理可以得到，根据题设条件，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；

（2）根据题设条件以及第一问的结论可以求得，之后在中，用余弦定理得到所满足的关系，从而求得结果.

（1）在中，由正弦定理得.由题设知，，所以.

由题设知，，所以.

（2）由题设及

（1）知，.在中，由余弦定理得

.所以.

该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.

1.【2018山东，理9】在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是

（A）（B）（C）（D）

【解析】试题分析：

所以，选A.

【考点】1.三角函数的和差角公式2.正弦定理.

【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的正弦公式转化为含有，，的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.

2.【2018浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．

【解析】

试题分析：

取BC中点E，DC中点F，由题意：

，

△ABE中，，，

．

又，

综上可得，△BCD面积为，．

【考点】解三角形

【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：

（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；

（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．

3.【2018课标1，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.

（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；

（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为.

试题解析：

（1）由题设得，即.

由正弦定理得.

故.

【考点】三角函数及其变换.

【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；

解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题通法思路是：

全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；

求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.

4.【2018课标II，理17】的内角所对的边分别为，已知，

（2）若，的面积为，求。

（1）；

（2）。

利用三角形内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合求出；

利用

（1）中结论，利用勾股定理和面积公式求出，从而求出。

（1）由题设及，，故。

上式两边平方，整理得，

解得（舍去），。

（2）由得，故。

又，则。

由余弦定理及得：

所以b=2。

【考点】正弦定理；

余弦定理；

三角形面积公式。

【名师点睛】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎。

5.【2018课标3，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，a=2,b=2.

（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积.

（1）；

（2）

（1）由题意首先求得，然后利用余弦定理列方程，边长取方程的正实数根可得；

（2）利用题意首先求得△ABD面积与△ACD面积的比值，然后结合△ABC的面积可求得△ABD的面积为.

（1）由已知得，所以.

在△ABC中，由余弦定理得，即.

解得：

（舍去），.

【考点】余弦定理解三角形；

三角形的面积公式

【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；

已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.

6.【2018北京，理15】在△ABC中，=60°

，c=a.

（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.

（Ⅱ）.

（Ⅰ）根据正弦定理求的值；

（Ⅱ）根据条件可知根据（Ⅰ）的结果求，再利用求解，最后利用三角形的面积.

（Ⅰ）在△ABC中，因为，，

所以由正弦定理得.

（Ⅱ）因为，所以.

由余弦定理得，

解得或（舍）.

所以△ABC的面积.

【考点】1.正余弦定理；

2.三角形面积；

3.三角恒等变换.

【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；

如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；

以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式

7.【2018天津，理15】在中，内角所对的边分别为.已知，，.

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）求的值.

【答案】

（1）.

（2）

利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，

进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.

（Ⅰ）在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.

由正弦定理,得.

所以，的值为，的值为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）及，得，所以，

.故.

考点：

正弦定理、余弦定理、解三角形

【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系