三年高考理科数学高考真题分类汇总数列的综合应用Word格式.docx

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2.（2019浙江20）设等差数列的前n项和为，，，数列满足：

对每个成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）记证明：

（1）设数列的公差为d，由题意得

解得．

从而．

由成等比数列得

．

所以．

（2）．

我们用数学归纳法证明．

①当n=1时，c1=0<

2，不等式成立；

②假设时不等式成立，即．

那么，当时，

即当时不等式也成立．

根据

（1）和

（2），不等式对任意成立．

3.（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.

（1）已知等比数列{an}满足：

，求证：

数列{an}为“M－数列”；

（2）已知数列{bn}满足：

，其中Sn为数列{bn}的前n项和．

①求数列{bn}的通项公式；

②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．

解析

（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.

由，得，解得．

因此数列为“M—数列”.

（2）①因为，所以．

由，得，则.

由，得，

当时，由，得，

整理得．

所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.

因此，数列{bn}的通项公式为bn=n.

②由①知，bk=k，.

因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>

0.

因为ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.

当k=1时，有q≥1；

当k=2，3，…，m时，有．

设f（x）=，则．

令，得x=e.列表如下：

x

e

（e，+∞）

+

–

f（x）

极大值

因为，所以．

取，当k=1，2，3，4，5时，，即，

经检验知也成立．

因此所求m的最大值不小于5．

若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，

所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.

综上，所求m的最大值为5．

4.（2019北京理20）已知数列，从中选取第项、第项、…、第项，若，则称新数列为的长度为m的递增子列。

规定：

数列的任意一项都是的长度为1的递增子列。

（Ⅰ）写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列；

（Ⅱ）已知数列的长度为P的递增子列的末项的最小值为，长度为q的递增子列的末项的最小值为，若p<

q，求证：

；

（Ⅲ）设无穷数列的各项均为正整数，且任意两项均不相等，若的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1，且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有个（s=1,2,…），求数列的通项公式.

（I）1，3，5，6.（答案不唯一）.

（II）设长度为q末项为的一个递增子列为.

由，.

因为的长度为p的递增子列末项的最小值为.

又是的长度为p的递增子列，所以所以.

（III）由题设知，所有正奇数都是中的项.

先证明：

若2m是中的项，则2m必排在2m-1之前（m为正整数）.

假设2m排在2m-1之后，设是数列的长度为m末项为2m-1的递增子列，则是数列的长度为m+1末项为2m的递增子列，与已知矛盾.

再证明：

所有正偶数都是中的项.

假设存在正偶数不是中的项，设不在中的最小正偶数为2m.

因为2k排在2k-1之前,所以2k和2k-1不可能在的同一个子列中.

又中不超过的数为1，2，…..，，，

所以的长度为末项为的递增子列个数至多为

，与已知矛盾.

最后证明排在之后（为整数）.

假设存在（），使得排在之前，则的长度为末项为的递增子列个数小于，与已知矛盾.

综上，数列只可能为.

经验证，数列符合条件，

所以.

2017、2018年

一、选择题

1．（2017新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：

已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．求满足如下条件的最小整数：

且该数列的前项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是

A．440B．330C．220D．110

A【解析】对数列进行分组如图

则该数列前组的项数和为

由题意可知，即，解得，

即出现在第13组之后．

又第组的和为

前组的和为

设满足条件的的在第（,）组，且第项为第的第个数，第组的前项和为，

要使该数列的前项和为2的整数幂，

即与互为相反数，

即，

所以，

由，所以，则，此时

对应满足的最小条件为，故选A．

二、填空题

1．（2018江苏）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为．

27【解析】所有的正奇数和（）按照从小到大的顺序排列构成，在数列中，前面有16个正奇数，即，．当时，，不符合题意；

当时，，不符合题意；

……；

当时，=441+62=503<

，不符合题意；

当时，=484+62=546>

=540，符合题意．故使得成立的的最小值为27．

三、解答题

1．（2018江苏）设是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列．

（1）设，若对均成立，求的取值范围；

（2）若，证明：

存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．

【解析】

（1）由条件知：

．

因为对=1，2，3，4均成立，

即对=1，2，3，4均成立，

即11，13，35，79，得．

因此，的取值范围为．

（2）由条件知：

若存在，使得（=2，3，·

·

，+1）成立，

即（=2，3，·

，+1），

即当时，满足．

因为，则，

从而，，对均成立．

因此，取=0时，对均成立．

下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．

①当时，，

当时，有，从而．

因此，当时，数列单调递增，

故数列的最大值为．

②设，当时，，

所以单调递减，从而．

因此，当时，数列单调递减，

故数列的最小值为．

2．（2017天津）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和．

（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.

由已知，得，而，所以.

又因为，解得.所以，.

由，可得①.

由，可得②，

联立①②，解得，，由此可得.

所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为.

（Ⅱ）设数列的前项和为，

由，，有，

故，

上述两式相减，得

得.

所以，数列的前项和为.

3．（2017浙江）已知数列满足：

，．

证明：

当时

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）．

（Ⅰ）用数学归纳法证明：

当时，

假设时，，

那么时，若，则，矛盾，故．

因此

所以

（Ⅱ）由得

记函数

函数在上单调递增，所以=0，

故

（Ⅲ）因为

所以得

由得

所以

综上，．