全等三角形中的热点问题Word文档下载推荐.docx
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（1）∠BAE=∠BCD或∠AEB=∠CDB或AE=CD，证明略；
（2）△ADC≌△AEC
例4（2005年福州课改卷）
已知：
如图7，点C、D在线段AB上，PC＝PD。
请你添加一个条件，使图中存在全等三角形并给予证明。
所加条件为＿＿＿＿＿＿＿，你得到的一对全等三角形是△＿＿＿≌△＿＿＿。
所添条件为：
∠A＝∠B（或PA＝PB或AC＝BD或AD＝BC或∠APC＝∠BPD或∠APD＝∠BPC等）
全等三角形为：
△PAC≌△PBD（或△APD≌△BPC）
证明：
（略）
二：
结论开放与探索
给定问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者景象推断，甚至要求解题者探索条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性的问题，它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力
例5（2005年安徽）.如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=DC,请问图中有哪几对全等三角形?
并任选其中一对给予证明.
图中有3对全等三角形，分别：
△ABF≌△DEC。
△ABC≌△DEF，△BCF≌△EFC。
证明：
∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，
又∵AB=DE,AF=DC，
∴△ABF≌△DEC。
例6（2005年宁波）.如图,△ABC中,AB=AC,过点A作GE∥BC,角平分线BD、CF相交于点H,它们的延长线分别交GE于点E、G.试在图中找出3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明.
E
A
G
D
F
H
C
B
△AGC≌△AFB。
△AGF≌△DFD。
△HBF≌△HDC。
△AFC≌△ADB。
证明略
例7．（2005年常州）
如图，已知为等边三角形，、、
分别在边、、上，且也是等边三角形．
（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，
并证明你的猜想是正确的；
（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？
写出变化过程．
（1）AE=BF=CD；
AF=BD=CE；
（2）绕E、D、F进行旋转，然后对折。
例8．（2005年马尾）用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°
角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°
角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图13—1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？
并证明你的结论；
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图13—2），你在
（1）中得到的结论还成立吗？
简要说明理由.
（1）BE=CF.
在△ABE和△ACF中，∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°
，
∴∠BAE=∠CAF.
∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°
，∴△ABE≌△ACF（ASA）.
∴BE=CF.
（2）BE=CF仍然成立.根据三角形全等的判定公理，同样可以证明△ABE和△ACF
例9．如图，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求证：
△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图，B点与C点重合时，如图，B点在C点右侧时，其余条件不变，结论是否仍成立，如果成立，请予证明；
如果不成立，请说明理．
∵DE∥AF，∴∠A＝∠D，
∵AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝DB，
在△AFC和△DEB中，
∵AC＝DB，∠A＝∠D，AF＝DE，
∴△AFC≌△DEB．
例11．如图
（1），已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE，求证：
AC⊥CE．若将CD沿CB方向平移得到图
（2）（3）（4）（5）的情形，其余条件不变，结论AC1⊥C2E还成立吗？
请说明理由．
可证△ABC≌△CDE，得∠ACB＝∠E，
∵∠ACB＋∠ECD＝∠E＋∠ECD＝90°
∴∠ACE＝180°
－90°
＝90°
，∴AC⊥CE．
图
（2）（3）（4）（5）四种情况，结论AC1⊥C2E仍然成立，证明同上．
例12．已知如图
（1），△ABC中，∠BAC＝90°
，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：
（1）BD＝DE＋CE；
（2）若直线AE绕A点旋转到
（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?
请予证明．（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时，（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?
请直接写出结果，不须证明．（4）归纳
（1）、
（2）、（3），请用简捷语言表述BD、DE、CE的关系．
（1）∵BD⊥AE，CE⊥AE（已知），∴∠BDA＝∠AEC＝90°
（垂直定义）
∵∠BAD＋∠CAE＝90°
，∠BAD＋∠ABD＝90°
∴∠CAE＝∠ABD（同角的余角相等）
在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE（全等三角形的对应边相等）
∵AE＝AD＋DE，∴AE＝CE＋DE，
∴BD＝CE＋DE．
（2）BD＝DE－CE，证明方法与
（1）相同．
（3）BD＝DE－CE．
（4）归纳
（1）
（2）（3）可知结论表述为：
当B、C在AE异侧时，BD＝DE＋CE；
当B、C在AE同侧时，BD＝DE－CE；
说明：
本题考查动态几何中的量的关系，其关键是猜想规律，再运用几何知识予以证明．
22．（本题6分）如图，在10×
5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为单位1．将△ABC向右平移4个单位，得到△A'
B'
C'
，再把△A'
绕点A'
逆时针旋转90°
，得到△A'
B"
C"
．请你画出△A'
和△A'
（不要求写画法）．
22．如图所示，正确画出AA'
c'
正确画出△'
（说明：
若画出的AA'
，的位置不正确，但在△'
的基础上画出正确的△A’B"
得3分）
三：
策略开放与探索
策略开放性问题，一般指解题者发不惟一或解题路径不明确的问题，这类问题要求解题者不因循守旧，不墨守成规，善于标新立异，追求一题多解，同时给解题者以广阔的思维空间，通过积极思考，创新求索、探索解题策略和思路，活用解题思路和方法，优化解题方案和过程。
例13（2005年十堰课改卷）如图，已知△ABC，请你增加一个条件，写出一个结论，并证明你写出的结论。
增加的条件为：
求证：
增加条件为BD=CE。
结论为∠B=∠C。
在Rt△BEC和Rt△CDB中
∵BD=CEBC=BC；
∴Rt△BEC≌Rt△CDB。
∴∠B=∠C
例14．（2005年扬州）如图，在△ABC和△DEF中，D、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明。
①AB＝DE，②AC＝DF，③∠ABC＝∠DEF，④BE＝CF。
答案不唯一，如已知：
①②④；
③或已知：
①③④；
②。
24（2005年漳州）．如图，给出五个等量关系：
①AD=BC、②AC=BD、③CE=DE、④∠D=∠C、
⑤∠DAB=∠CBA。
请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，写出一个正确命题（只需写出一种情况），并加以证明。
27．（本题9分）
如图，四边形ABCD中，点E在边CD上，连结AE、BE．给出下列五个关系式：
①AD∥BC；
②DE=CE；
③∠1=∠2；
④∠3=∠4；
⑤AD+BC=AB．将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题．
（1）用序号写出一个真命题（书写形式如：
如果×
×
，那么×
），并给出证明：
（2）用序号再写出三个真命题（不要求证明）；
（3）加分题：
真命题不止以上四个，想一想，就能够多写出几个真命题，每多写出一个真命题就给你加1分，最多加2分．
27．解：
（1）如果①②③，那么④⑤
如图，延长AE交BC的延长线于F
∵AD∥BC∴∠1=∠F
又∵∠AED=∠CEF，DE=EC∴△ADE≌△FCE
∴AD=CF，AE=EF
∵∠l=∠F，∠1=∠2．∠2=∠F
∴AB=BF∴∠3=∠4
∴AD+BC=CF+BC=BF=AB
其它真命题的证明可参照上述过程相应给分）
（2）如果①②④，那么③⑤
如果①③④，那么②⑤
如果①③⑤，那么②④
（3）若
（1）
（2）中四个命题含假命题（“如果②③④，那么①⑤’’），则不加分；
若（3）中含假命题，也不加分．
21-（本题满分8分）如图，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）．
21．证明：
条件①AE=ADAB=AC②AB=AC∠B=∠C③AE=AD∠B=∠C
例15如图，已知AD＝BC，AB＝DC，DE＝BF，试探究：
BE与DF是否相等？
．
剖析：
欲证BE＝DF，需证△ABE≌△CDF，要证这两个三角形全等．已经具备了两组条件，AB＝CD．AD＋DE＝CB＋BF即AE＝CF．只要再证∠A＝∠C即可．那么再观察∠A、∠C还是哪两个全等三角形的对应角．
由条件AD＝CB，AB＝CD，很明显看出，若连结BD，那么△ABD与△CDB全等的条件已经具备，结论即可得证．
相等。
理由：
连结BD在△ABD和△CDB中
∴△ABD≌△CDB（SSS）
∴∠A＝∠C（全等三角形的对应角相等）．
∵AD＝CB、DE＝BF（已知），∴AD＋DE＝CB＋BF，即AE＝CF．
在△ABE和△CDF中
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
∴BE＝DF（全等三角形的对应边相等）．
（1）在解决有关问题时，经常遇到已知条件与结论无法沟通的状况，这时，便需添加辅
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