空间直线同步练习Word下载.docx

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（1）

（2）（3）

（4）（5）

图9－10

　　4．判断下列命题是否正确，并说明理由．

（1）空间两条直线可以确定一个平面；

（2）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条；

　　（3）垂直于同一条直线的两条直线平行；

　　（4）直线a与b平行，b与c平行，则a与c平行；

　　（5）直线a与b相交，b与c相交，则a与c相交；

　　（6）直线a与b异面，b与c异面，则α与c异面；

　　（7）一条直线与两条平行线中的一条垂直，必和另一条也垂直．

　　5．a、b、l是三条直线，α、β是两个平面，且α∩β＝l，aα，bβ，则a与b的位置关系是_________．

　　6．直线a和b是平行直线，点A、C在直线a上，点B、D在直线b上，那么直线AB与CD的位置关系是什么?

若直线a和b是异面直线呢?

　　7．在正方体ABCD—中，六个面内与BD所成的角为60°

的对角线共有多少条?

　　8．A、B、C、D是不在同一个平面内的四点．E是线段AD上一点．证明直线CE和BD是异面直线．

　　9．已知ABCD－为正方体，棱长为a．

（1）求异面直线与之间的距离；

（2）若E、F分别为棱、AB的中点，求异面直线EF与之间的距离．

综合练习

　　1．关于直线a、b有以下三个结论：

　　甲：

a、b相交；

乙：

a、b平行；

丙：

a、b不是异面直线．

　　那么，下列命题中正确的是（　）．

　　A．甲和乙均是丙的充分非必要条件

　　B．甲和乙均是丙的必要非充分条件

　　C．甲是丙的充分非必要条件，且乙是丙的必要非充分条件

　　D．甲是丙的必要非充分条件，且乙是丙的充分非必要条件

　　2．给出以下四个命题：

　　①若两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行

　　②若两条直线和第三条直线都垂直，则这两条直线平行

　　③若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行

　　④若两条直线分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行

　　其中错误命题的个数是（　）个．

　　A．1B．2C．3D．4

　　3．在正方体ABCD—中，与对角线异面的棱有（　）．

　　A．3条B．4条C．6条D．8条

　　4．三条直线共面的条件可以是（　）．

　　A．这三条直线两两平行B．这三条直线交于一点

　　C．这三条直线中的一条与另外两条都相交

　　D．这三条直线两两相交，但不交于一点

　　5．已知m、n为异面直线，m平面α，n平面β，α∩β＝l，则l（　）．

　　A．与m、n都相交B．与m、n中至少一条相交

　　C．与m、n都不相交D．至多与m、n中的一条相交

　　6．如图9－11，在正方体ABCD—中，E、F分别是棱、的中点，求证：

EF∥BD，且．

图9－11

　　7．如图9－12，O是平面ABC外一点，、、分别在线段OA、OB、OC上，且满足，．求证：

△ABC∽△．

图9－12

　　8．如图9－13，P是平面ABC外一点，PA＝4，，D、E分别为PC和AB的中点，且DE＝3．求异面直线PA和BC所成角的大小．

图9－13

　　9．如图9－14，A是平面BCD外一点，且AB＝AC＝DB＝DC，M、N分别是BC、AD的中点．求证：

MN是异面直线AD与BC的公垂线．

图9－14

　　10．如图9－15，已知A是平面BCD外一点，满足AC＝BD，M、N、P、Q分别是BC、CD、DA、AB的中点．求证：

QN⊥PM．

图9－15

　　11．如图9－16，在棱长为a的正方体ABCD—中，求异面直线AC和的距离．

图9－16

　　12．在长方体ABCD－中，AB＝2，，M、N分别是AD、DC的中点．

（1）证明∥；

（2）求异面直线MN与所成角的余弦值．

拓展练习

　　1．在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，得到四边形EFGH．

（1）四边形EFGH是______________；

（2）当对角线AC＝BD时，四边形EFGH是______________；

　　（3）当对角线满足条件______________时，四边形EFGH是矩形；

　　（4）当对角线AC、BD满足条件_______时，四边形EFGH是正方形．

　　2．借助两支铅笔，试研究以下问题：

（1）在平面内，过直线外一点有多少条直线与已知直线平行?

在空间呢?

图9－17

（2）在一个平面内，过一点有多少条直线与已知直线垂直?

　　（3）在一个平面内，与该平面内的已知直线所成角为60°

的直线有多少条?

这些直线与已知直线的位置关系如何?

在空间，与一条直线所成角为60°

　　3．如图9－18，已知P为△ABC所在平面外一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分别为PA和BC的中点．

（1）求证：

EF与PC是异面直线；

（2）EF与PC所成的角；

　　（3）线段EF的长．

图9－18

　　4．如图9－19，在棱长为a的正方体ABCD—中，O是AC、BD的交点，E、F分别是AB与AD的中点．

图9－19

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）求异面直线EF与所成角的大小；

　　（3）求异面直线EF与所成角的正切值；

　　（4）求异面直线EF与的距离．

　　5．在空间中，

　　①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线．

　　②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．

　　以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________．

　　（把符合要求的命题序号都填上）

参考答案

　　1．

（1）AB∥DC∥∥；

（2）AD、、、BC；

　　（3）、、、．

　　2．

（1）平行，异面，异面；

（2）平行，相等，全等；

（3）90，45，90．

　　3．

（1）＝P；

（2）a∥b（公理4）；

　　（3）a与b是异面直线；

（4）a与b是异面直线；

（5）a与b是异面直线．

　　4．

（1）不正确．两条异面直线不能确定一个平面．

（2）不正确．垂直于两条异面直线的直线有无数多条，但公垂线——与两条异面直线垂直相交的直线有且只有一条．

　　（3）不正确．垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面．

　　（4）正确．由公理4可知．

　　（5）不正确．a、c可能平行，还可能异面．

　　（6）不正确．a、c可能异面，但也可能平行或相交．

　　（7）正确．因为直线与两条平行线所成的角相等．

　　5．平行、相交或异面（参看图答9－10）

　　6．若a∥b，则a，b共面于α，A、B、C、D均在α内，故AB与CD共面于α，则AB与CD的位置关系可能是平行或相交．若a、b是异面直线，则AB与CD必是异面直线．假设AB与CD共面于β，则AC与BD，即a、b共面．这与已知矛盾．

　　7．参看图答9－10，与BD相交所成角为60°

的面对角线、，，四条；

与BD异面所成角为60°

的面对角线有、、、四条，故一共8条．

图答9－10

　　8．设CE、BD不是异面直线，那么CE、BD在同一个平面（设为α）内．由E、D在平面α内，则直线ED在平面α内，直线ED上的点A也在平面α内，即A、B、C、D都在平面α内，这与A、B、C、D不在同一平面内是相矛盾的，因此CE、BD是异面直线．

　　9．

（1）a（公垂线段为）；

（2）（公垂线段为）．

　　1．A

　　2．C．根据公理4，知③正确，利用正方体判断其余命题均不正确．由与AB所成角90°

，BC与AB所成的角90°

，但与BC不平行，从而①、②不正确；

在平面内，DC在平面ABCD内，虽平面与平面ABCD相交，仍有∥DC，从而说明④不正确．

　　3．C．如图答9－10，把正方体的几条棱分为三类，在平面上的四条棱中有、与异面，在平面ABCD上的四条棱中有AD、CD与异面，上下两底面之间的四条棱中，有、与是异面直线，故与异面的棱共6条．

　　4．D．可参看下列图形：

图答9－9

　　5．B．可参看下列图形：

图答9－11

　　6．连结．∵∥，∴四边形是平面图形，又∵＝，∴四边形是平行四边形，∴BD，在△中，∵E、F分别是与的中点，∴EF，由公理4有EF∥BD，且有．

　　7．∵，，∴.在△AOB中，由，∴∥AB，同理∥BC，∵与∠ABC方向相同，∴＝∠ABC，同理＝∠BAC，∴△∽△ABC．

图答9－12

　　8．取AC中点F，连结DF、EF，在△PAC中，∵D是PC中点，F是AC中点，则DF∥PA，同理可得EF∥BC，∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角．在△DEF中，DE＝3，又DF＝PA＝2，EF＝BC＝，∴，∴∠DFE＝90°

，即异面直线PA与BC所成的角为90°

．

　　9．连结AM、DM．在△ABC和△DBC中，∵AB＝DB，AC＝DC，BC＝BC，∴△ABC≌△DBC，∴AM＝DM．在等腰△AMD中，∵N是AD中点，∴MN⊥AD于N，连结BN、CN，同理可证BN＝CN，于是MN⊥BC于M，故MN是直线AD与BC的公垂线．

　　10．在△ABC中，∵Q是AB中点，M是BC中点，∴MQ∥AC，且MQ＝AC，同理PN∥AC，且PN＝AC．∴QMPN．∴四边形MNPQ是平行四边形，又∵PQ＝BD，QM＝AC，AC＝BD，∴PQ＝QM，∴平行四边形MNPQ是菱形，∴QN⊥PM．

　　11．连结交于，连结BD交AC于O，连结，在矩形中，是中点，O是AC中点，则于O．同理于，∴是异面直线AC和的公垂线．∵＝＝a，∴AC与间的距离为a．

　　12．

（1）∵∥∥，＝＝，∴是平行四边形，∴AC∥，又MN∥AC，因此，MN∥．

（2）由

（1），是异面直线MN与所成角．在△中，，．于是有．

　　1．

（1）由三角形中位线定理可知EFAC，HGAC，于是EFHG，故四边形EFGH为平行四边形；

（2）当AC＝BD时，由EF＝AC，EH＝BD，得EF＝EH，即平行四边形EFGH的邻边相等，故平行四边形EFGH为菱形；

　　（3）要使平行四边形EFGH为矩形，需且只须一个角是直角．如需EF⊥FG，则AC⊥BD；

　　（4）要使平行四边形EFGH为正方形，需且只须AC⊥BD，且AC＝BD；

　　2．

（1）在一个平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；

在空间也如此．

（2）在一个平面内，过一点（该点可在直线上，也可在直线外）有且只有一条直线与已知直线垂线；

在空间过直线上或直线外一点都有无数条直线和已知直线