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1、 （1） （2） （3） （4） （5）图9104判断下列命题是否正确，并说明理由（1）空间两条直线可以确定一个平面；（2）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条；（3）垂直于同一条直线的两条直线平行；（4）直线a与b平行，b与c平行，则a与c平行；（5）直线a与b相交，b与c相交，则a与c相交；（6）直线a与b异面，b与c异面，则与c异面；（7）一条直线与两条平行线中的一条垂直，必和另一条也垂直5a、b、l是三条直线，、是两个平面，且 l，a，b，则a与b的位置关系是_6直线a和b是平行直线，点A、C在直线a上，点B、D在直线b上，那么直线AB与CD的位置关系是什么?若直线a和b是异面直线呢?

2、7在正方体ABCD中，六个面内与BD所成的角为60的对角线共有多少条?8A、B、C、D是不在同一个平面内的四点E是线段AD上一点证明直线CE和BD是异面直线9已知ABCD为正方体，棱长为a（1）求异面直线与之间的距离；（2）若E、F分别为棱、AB的中点，求异面直线EF与之间的距离综合练习1关于直线a、b有以下三个结论：甲：a、b相交；乙：a、b平行；丙：a、b不是异面直线那么，下列命题中正确的是（）A甲和乙均是丙的充分非必要条件B甲和乙均是丙的必要非充分条件C甲是丙的充分非必要条件，且乙是丙的必要非充分条件D甲是丙的必要非充分条件，且乙是丙的充分非必要条件2给出以下四个命题：若两条直线和第三条

3、直线成等角，则这两条直线平行若两条直线和第三条直线都垂直，则这两条直线平行若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行若两条直线分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行其中错误命题的个数是（）个A1 B2 C3 D43在正方体ABCD中，与对角线异面的棱有（）A3条 B4条 C6条 D8条4三条直线共面的条件可以是（）A这三条直线两两平行B这三条直线交于一点C这三条直线中的一条与另外两条都相交D这三条直线两两相交，但不交于一点5已知m、n为异面直线，m平面，n平面，l，则l（）A与m、n都相交 B与m、n中至少一条相交C与m、n都不相交 D至多与m、n中的一条相交6如图911，在正方体A

4、BCD中，E、F分别是棱、的中点，求证：EFBD，且图9117如图912，O是平面ABC外一点，、分别在线段OA、OB、OC上，且满足，求证：ABC图9128如图913，P是平面ABC外一点，PA4，D、E分别为PC和AB的中点，且DE3求异面直线PA和BC所成角的大小图9139如图914，A是平面BCD外一点，且ABACDBDC，M、N分别是BC、AD的中点求证：MN是异面直线AD与BC的公垂线图91410如图915，已知A是平面BCD外一点，满足ACBD，M、N、P、Q分别是BC、CD、DA、AB的中点求证：QNPM图91511如图916，在棱长为a的正方体ABCD中，求异面直线AC和的距

5、离图91612在长方体ABCD中，AB2，M、N分别是AD、DC的中点（1）证明；（2）求异面直线MN与所成角的余弦值拓展练习1在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，得到四边形EFGH（1）四边形EFGH是_；（2）当对角线ACBD时，四边形EFGH是_；（3）当对角线满足条件_时，四边形EFGH是矩形；（4）当对角线AC、BD满足条件_时，四边形EFGH是正方形2借助两支铅笔，试研究以下问题：（1）在平面内，过直线外一点有多少条直线与已知直线平行?在空间呢?图917（2）在一个平面内，过一点有多少条直线与已知直线垂直?（3）在一个平面内，与该平面内的已知

6、直线所成角为60的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何?在空间，与一条直线所成角为603如图918，已知P为ABC所在平面外一点，PCAB，PCAB2，E、F分别为PA和BC的中点（1）求证：EF与PC是异面直线；（2）EF与PC所成的角；（3）线段EF的长图9184如图919，在棱长为a的正方体ABCD中，O是AC、BD的交点，E、F分别是AB与AD的中点图919（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求异面直线EF与所成角的大小；（3）求异面直线EF与所成角的正切值；（4）求异面直线EF与的距离5在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线若两条直线没有公共点，则这两条直线是

7、异面直线以上两个命题中，逆命题为真命题的是_（把符合要求的命题序号都填上）参考答案1（1）ABDC；（2）AD、BC；（3）、2（1）平行，异面，异面；（2）平行，相等，全等；（3）90，45，903（1）P；（2）ab（公理4）；（3）a与b是异面直线；（4）a与b是异面直线；（5）a与b是异面直线4（1）不正确两条异面直线不能确定一个平面（2）不正确垂直于两条异面直线的直线有无数多条，但公垂线与两条异面直线垂直相交的直线有且只有一条（3）不正确垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面（4）正确由公理4可知（5）不正确a、c可能平行，还可能异面（6）不正确a、c可能异面，但也可能平行或相

8、交（7）正确因为直线与两条平行线所成的角相等5平行、相交或异面（参看图答910）6若ab，则a，b共面于，A、B、C、D均在内，故AB与CD共面于，则AB与CD的位置关系可能是平行或相交若a、b是异面直线，则AB与CD必是异面直线假设AB与CD共面于，则AC与BD，即a、b共面这与已知矛盾7参看图答910，与BD相交所成角为60的面对角线、，四条；与BD异面所成角为60的面对角线有、四条，故一共8条图答9108设CE、BD不是异面直线，那么CE、BD在同一个平面（设为）内由E、D在平面 内，则直线ED在平面内，直线ED上的点A也在平面内，即A、B、C、D都在平面内，这与A、B、C、D不在同一平

9、面内是相矛盾的，因此CE、BD是异面直线9（1）a（公垂线段为）；（2）（公垂线段为）1A2C根据公理4，知正确，利用正方体判断其余命题均不正确由与AB所成角90，BC与AB所成的角90，但与BC不平行，从而、不正确；在平面内，DC在平面ABCD内，虽平面与平面ABCD相交，仍有DC，从而说明不正确3C如图答910，把正方体的几条棱分为三类，在平面上的四条棱中有、与异面，在平面ABCD上的四条棱中有AD、CD与异面，上下两底面之间的四条棱中，有、与是异面直线，故与异面的棱共6条4D可参看下列图形：图答995B可参看下列图形：图答9116连结 ， 四边形是平面图形，又， 四边形是平行四边形， B

10、D，在中， E、F分别是与的中点， EF，由公理4有EFBD，且有7 ， .在AOB中，由， AB，同理BC， 与ABC方向相同， ABC，同理BAC， ABC图答9128取AC中点F，连结DF、EF，在PAC中， D是PC中点，F是AC中点，则DFPA，同理可得EFBC， DFE为异面直线PA与BC所成的角在DEF中，DE3，又DFPA2，EFBC， ， DFE90，即异面直线PA与BC所成的角为909连结AM、DM在ABC和DBC中， ABDB，ACDC，BCBC，ABCDBC， AMDM在等腰AMD中， N是AD中点， MNAD于N，连结BN、CN，同理可证BNCN，于是MNBC于M，故

11、MN是直线AD与BC的公垂线10在ABC中， Q是AB中点，M是BC中点， MQAC，且MQAC，同理PNAC，且PNAC QMPN 四边形MNPQ是平行四边形，又 PQBD，QMAC，ACBD， PQQM， 平行四边形MNPQ是菱形， QNPM11连结交于，连结BD交AC于O，连结，在矩形中，是中点，O是AC中点，则于O同理于， 是异面直线AC和的公垂线 a， AC与间的距离为a12（1） ， 是平行四边形，AC，又MNAC，因此，MN（2）由（1），是异面直线MN与所成角在中，于是有1（1）由三角形中位线定理可知EFAC，HGAC，于是EFHG，故四边形EFGH为平行四边形；（2）当ACBD时，由EFAC，EHBD，得EFEH，即平行四边形EFGH的邻边相等，故平行四边形EFGH为菱形；（3）要使平行四边形EFGH为矩形，需且只须一个角是直角如需EFFG，则ACBD；（4）要使平行四边形EFGH为正方形，需且只须AC BD，且ACBD；2（1）在一个平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；在空间也如此（2）在一个平面内，过一点（该点可在直线上，也可在直线外）有且只有一条直线与已知直线垂线；在空间过直线上或直线外一点都有无数条直线和已知直线