绝对值的最值问题_精品文档.docx
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【例题1】:
求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值,并求出此时x的值?
分析:
先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程
可令x+11=0,x-12=0,x+13=0 得x=-11,x=12,x=-13(-13,-11,12是本题零点值)
1) 当x<-13时,x+11<0,x-12<0,x+13<0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12
2) 当x=-13时,x+11=-2,x-12=-25,x+13=0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40
3) 当-130,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14
4) 当x=-11时,x+11=0,x-12=-23,x+13=2,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=25
5) 当-110,x-12<0,x+13>0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36
6) 当x=12时,,x+11=23,x-12=0,x+13=25,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=48
7) 当x>12时,x+11>0,x-12>0,x+13>0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12
可知:
当x<-13时, |x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>27
当x=-13时, |x+11|+|x-12|+|x+13|=40
当-13当x=-11时, |x+11|+|x-12|+|x+13|=25
当-11当x=12时 |x+11|+|x-12|+|x+13|=48
当x>12时, |x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12>48
观察发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25,此时x=-11
解:
可令x+11=0,x-12=0,x+13=0 得x=-11,x=12,x=-13(-13,-11,12是本题零点值)
将-11,12,-13从小到大排列为-13<-11<12
可知-11处于-13和12之间,所以当x=-11时,|x+11|+|x-12|+|x+13|有最小值是25
例题4:
求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值
分析:
回顾化简过程如下
令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0
则零点值为x=1 ,x=2,x=3,x=4
(1)当x<1时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10
(2)当1≤x<2时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8
(3)当2≤x<3时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4
(4)当3≤x<4时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2
(5)当x≥4时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10
根据x的范围判断出相应代数式的范围,在取所有范围中最小的值,即可求出对应的x的范围或者取值
解:
根据绝对值的化简过程可以得出
当x<1时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10>6
当1≤x<2时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8 4<2x+8≤6
当2≤x<3时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4
当3≤x<4时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2 4<2x-2 <6
当x≥4时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10≥6
则可以发现代数式的最小值是4,相应的x取值范围是2≤x≤3
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