数学文化之海伦秦九韶公式_精品文档.doc

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海伦—秦九韶公式

如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记那么三角形的面积

①

古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式.

我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式

.②

下面我们对公式②进行变形：

=

=

=

=

=

=

这说明海伦公式与秦九韶实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦—秦九韶公式.

证明过程

①海伦公式的证明

证明：

如图，在△ABC中，过A作高AD交BC于D,设BD=x，那么DC=a-x,

由于AD是△ABD、△ACD的公共边，

则h2=c2-x2=b2-（a-x）2，

解出x得x=，

于是h=，

S△ABC的面积==a·，

即S=，

令p=（a+b+c），

对被开方数分解因式，并整理得到

S=得证.

②由海伦公式推导秦九韶公式

秦九韶公式：

.

推导过程:

.

=

=

=

=

=.

故=.