积分不等式的若干证明技巧_精品文档.doc

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新疆师范大学2011届本科毕业论文（设计）

题目：

积分不等式的若干证明技巧

学院：

数学科学学院

专业班级：

数学07－4实验班

学生姓名：

努尔艾拉.阿西木

指导教师：

塔实甫拉提副教授

答辩日期：

2011年5月10日

新疆师范大学教务处

13

目录

1引言 1

2利用有些定义证明积分不等式 1

2.1利用定积分的定义证明积分不等式 1

2.2利用积分和及凸函数的性质证明积分不等式 2

3利用函数的单调性证明积分不等式 4

4利用微分中值定理证明积分不等式 4

5利用积分中值定理证明积分不等式 6

6利用一些基本不等式证明积分不等式 7

7利用泰勒展开式证明积分不等式 7

8利用将单积分化为重积分的方法 8

9利用分部积分法来证明积分不等式 9

10结论 10

参考文献：

11

致谢 11

积分不等式的若干证明技巧

摘要：

不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种联系。

论证不等式的方法很多，本文的目的主要是利用徽积分学原理归纳、总结“高等数学”中证明积分不等式的常用方法.由于积分具有较大的灵活性，故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性，是理工科学生学习的一个难点，以下我们仅从讨论过程中的关键步骤出发，大致地分成若干种方法，介绍有关证题的技巧和规律。

关键词：

积分不等式，积分中值定理；Rolle中值定理；Cauchy中值定理；Lagrange中值定理

Integralinequalityofseveralproofskills

Abstracts：

inequalityishighermathematicsandtheimportantcontentofmodernmathematicsanalysis,itreflectstheonebetweenthevariablesacontactisveryimportant.Demonstratesmanymethods,thispapertheinequalityinthemainpurposeoftheprincipleistousebadgeintegralcalculus"advancedmathematicssynthesizedandsummarizedin"thecommonlyusedmethodprovedintegralinequality.Becauseintegralhasgreaterflexibility,sointegralinequalityproofoftenrichstrongskilled,anengineeringstudentlearningadifficulty,belowweonlyfromacriticalstepindiscussion,startingintoseveralwaysroughly,introducesrelevantpaperstopictheskillsandlaw.

Keywords:

integralinequality,integralmean-valuetheorem;Rollemid-valuetheorem;Cauchymid-valuetheorem;Lagrangemid-valuetheorem

。

1引言

有人曾经说过这样的话,初等数学中的符号多,高等数学中的不等号多,现代数学中的箭头多。

这虽不是划分数学发展阶段的准则,但也道出了各个数学阶段的显著特征,以及不等式在高等数学中的地位和作用。

在高等数学的教学中,必须重视不等式教学。

下面就从一道题出发,来展示积分不等式的多种证法,以期抛砖引玉,开拓思路。

2利用有些定义证明积分不等式

2.1利用定积分的定义证明积分不等式

定义2.1（定积分）设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数。

若对任给的正数，总存在某一个正数，使得对任何分割,以及在其上任意选取的点集只要就有

则称函数在区间上可积。

数称为在上的定积分。

记作：

比如下面我们利用定积分的定义来解决一些问题。

例1设f（x）当时为一非负的增函数，试证：

证明：

因当时为非负的增函数，既所以即

于是

因此

2.2利用积分和及凸函数的性质证明积分不等式

首先我们看一下凸函数的定义：

定义2.2.1（凸函数）设定义在区间I上，若，恒有,则成为凸函数。

在这里我们利用凸函数的定义证明一些积分不等式。

例2.设是上连续的凸函数，试证：

，有

证明；令，则

（2）

同理，令有

从而

（3）

注意到与关于中点对称，由于（3）是凸函数

故由（3）得

另外，由

（2），应用的凸性，

引理2.2.1设在区间I上是凸的，对于任意点且不全为0，有

例5设在上连续，且在上游定义，并有二阶导数，

试证；

证明将等分记；

因为为凸函数，有引力1知：

及

令取极限，使得到要证明的不等式。

3利用函数的单调性证明积分不等式

利用函数的单调性能不能处理积分不等式方面的问题那么我们看一下：

定理3.1（单调性定理）；设在区间I上可导，则在区间I上递增（减）的充要条件.

例2.在上可微，且当（0,1）时试证：

x

证明：

令

因故只要证明在（0,1）内有，事实上，

已知当（故时

一下证

（1）中另一个因式也大于0.

记则

于是

故当

从而原不等式成立。

4利用微分中值定理证明积分不等式

微分学中三个基本定理为，拉格朗日中值定理。

罗尔定理，柯西中值定理，利用这三个定理可以证明一些不等式。

定理4.1（Rolle定理）设函数在闭区间上连续，在开区间上可导，且，则至少存在一点，使得

（1）

定理4.2（Lagrange中值定理）如函数满足如下条件：

（1）在区间上连续；

（2）在开区间内可导，

则在上至少存在一点，使得

。

（2）

定理4.3（Cauchy中值定理）:

设函数和满足

1.在上都连续；

2.在上都可导；

3.和不同时为零；

4.，

则存在，使得

例3在上连续，在上可微，且当（0,1）时试证；（x

证明；令，

由柯西中值定理有；存在使得

即故

从而原不等式成立。

5利用积分中值定理证明积分不等式

积分中值定理是在数学分析中很重要的一部分下面我们看一下它的定义和积分不等式方面的应用：

定理5.1（积分第一中值定理）:

如果函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使得

。

定理5.2（积分第二中值定理）设函数在上可积

（1）若在上减，且，则存在，使得

（2）若在上增，且，则存在，使得

下面利用积分中值定理解决一些积分不等式：

例。

4证明不等式：

，

其中在上可导且下凸函数。

证由题设知在上递增，我们有

=

=

=

6利用一些基本不等式证明积分不等式

利用积分不等式如Couchy不等式和schwarz不等式等可以证明另外一些不等式。

例6，已知在上连续，为任意实数，求证：

（1）

证明：

（1）式左边第一项应用Schwarz不等式

（2）

同理：

（3）

（2）+（3）得与式

（1）

注：

在使用Schwarz不等式时,要恰当地选取函数,有时需对积分作适当变形，才能用Schwarz不等式。

7利用泰勒展开式证明积分不等式

利用泰勒公式证明积分不等式，该法适合于题设中有二阶和二阶以上的高阶导数，先写出比题设条件低一阶的函数的泰勒展开并恰当地选择等式两边的x与x。

，根据题给高阶导数的大小或界对展开进行放缩。

定理7.1：

（泰勒定理）若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的

至少存在一点，使得

例7例设有设是上的任意的连续函数，试证明，对任意的有

证：

本例显然可用定积分的定义求证，令用泰勒展开式证明，由泰勒公式及得

令代入上式

则有

并对两边从到积分得

因，两边除以，既有。

8利用将单积分化为重积分的方法

当积分不等式中含有两单积分乘积或可以化为两单积分乘积时，可通过化为重积分的途径来证明。

定义8.1（重积分的定义）:

设是定义在可求面积的有界闭区域上的函数。

是一个确定的数，若对人给的正数，总存在某个正数，使对于的任何分割当它的细度时，属于的所有积分和都有

则称在上可积，数称为函数在上的二重积分，记作：

例.8设在上连续，且均为单调下降的函数，证明

证令，则

于是

由于均为单调下降的.故。

，由此得证。

9利用分部积分法来证明积分不等式

定义9.1（分部积分法）若与可导，不定积分存在，则也存在，并有

例9设在上单调增加且连续可微

证：

为正整数

证：

=

10结论

通过以上的工作，我们看到，在处理积分不等式或类似数学问题时，首先必须仔细审题，以寻找相关的尽可能行之有效的思想方法;其次，在具体使用某方法而不能奏效时，应认真分析该法失败的原因之所在，以便修正改进，最终达到目的.本文主要讨论了微分中值定理中的Rolle中值定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理，有些不等式，分部积分法给出了它们的定义和有关的一些例题。

讨论了积分中值定理中的积分第一中值定理、积分第二中值定理与他们有关的内容等。

然后对这些中值定理，定积分与凸函数的定义和性质，泰勒定力在处理积分不等式中的应用技巧作了系统的总结。

通过给出几个应用例子来进一步讨论了积分不等式的若干技巧。

新疆师范大学2011届本科毕业生毕业论文（设计）

参考文献：

[1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析（上册）[M].北京：

高等教育出版社，2004.5.第2版.167～201，290～291，373～374.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：

高等教育出版社，2001（2006重印）.第3版.167～201，

[3]周民强.数学分析习题演练[M].北京：

科学出版社，2006.第2版.78～90.

[4]（美国）M.R.施皮格尔著编；施建兵，朱卓宇，冯玉勇等译.微积分[M].北京：

科学出版社，2002.55～56，73～74.

[5]吴良林,毛羽辉.数学分析习题精解（多变量部分）[M].北京：

科学出版社，2003.74～81.

[6]《数学辞海》编辑委员会编.数学辞海（第一卷）[M].太原：

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