函数最值问题教案文档格式.docx
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、导入
（1）由于某种原因，2019年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，
请查阅资料说明做出这个决定的主要原因•
⑵通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.
课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平
均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事.下图
是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.
问题：
观察图形，能得到什么信息？
预案：
（1）当天最高温度、最低温度以及何时达到；
（2）在某时刻的温度；
⑶某些时段温度升高，某些时段温度降低.
在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是
很有帮助的.
还能举出生活中其他的数据变化情况吗？
水位高低、燃油价格、股票价格等.
归纳：
用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小.
二、知识讲解
函考点象上任函数的p最大坐标（x,y）的意义：
横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.
（3）图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值.
⑷由于点C是函数y=f（x）图象上的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意
x,都有yWyo,即f（x）wf（x°
），也就是对函数y=f（x）的定义域内任意x,均有f（x）wf（xo）成立.
（5）—般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：
1对于任意的x€I，都有f（x）WM;
2存在Xo€I，使得f（xo）=M.
那么，称M是函数y=f（x）的最大值..
（6）f（x）WM反映了函数y=f（x）的所有函数值不大于实数M;
这个函数的特征是图象有最
高点，并且最高点的纵坐标是M.
⑺函数图象上最高点的纵坐标.
（8）函数y=—2x+1,x€（-1,+s）没有最大值，因为函数y=—2x+1,x€（—1,+
a）的图象没有最高点.
（9）不是，因为该函数的定义域中没有一1.
（10）讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；
函数图象上有最高点时，这个函数
才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点.
考点2函数的最小值
（1）函数最小值的定义是：
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：
1对于任意的x€I，都有f（x）>
M;
2存在xo€I，使得f（xo）=M.
那么，称M是函数y=f（x）的最小值。
函数最小值的几何意义：
函数图象上最低点的纵坐标.
（2）讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；
函数图象上有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点.
的求法
例题12
画出函数y=—x2+2|x|+3的图象，指出函数的单调区间和最大值.
【解析】：
函数图象如图所示.
由图象得，函数的图象在区间（一8,—1）和［0,1］上是上升的，在［一1,0］和（1,）上是下
降的，最高点是（土1,4）,
故函数在（—a,—1）,［0,1］上是增函数；
函数在［—1,0］,（1,+^）上是减函数，最大值是
4.
【总结与反思】本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法•求函数的最值时，
先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种
方法适用于做解答题.
类型二单调法求函数最值
例题1
2求函数y=x—1在区间［2,6］上的最大值和最小值.
【解析】设2<
X1<
X2W6，则有f（x”—f（x2）=
22_2\Xrix2-12x2
为-1x2-1x1Tx2Tx1-1x2T
2wX1vX2W6,—X2—X［>
0,（X1—1）（x2—1）>
0.
2
f（X1）>
f（x2），即函数y=在区间［2,6］上是减函数.
xT
•••当x=2时，函数y=在区间［2,6］上取得最大值f
（2）=2;
x-1
22
当x=6时，函数y=在区间［2,6］上取得最小值f（6）=5.
x—1
【总结与反思】
单调法求函数最值：
先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；
常用到下面的结论：
①
如果函数y=f（x）在区间（a,b］上单调递增，在区间［b,c）上单调递减，则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）;
②如果函数y=f（x）在区间（a,b］上单调递减，在区间［b,c）上单调递增，则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）.
类型三函数最值的应用
“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距
地面的高度hm与时间ts之间的关系为h（t）=—4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？
这时距地面的高度是多少？
（精确到1m）
作出函数h（t）=—4.9t2+14.7t+18的图象，如图所示，
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵
坐标就是这时距地面的高度.
由二次函数的知识，对于函数h（t）=—4.9t2+14.7t+18,我们有：
14.74.9：
18-14.72
当t=_=15时，函数有最大值h=&
29.
-4.9-4.9
即烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m.
本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题的步
骤是：
①审清题意读懂题；
②将实际问题转化为数学问题来解决；
③归纳结论.
注意：
要坚持定义域优先的原则；
求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.
四、课堂运用
a的取值范围是
1.若基础数f（x）=x2+2（a—1）x+2在区间（一a,4）上是减函数，则实数
2•已知函数y=x+（2xT，下列说法正确的是.（填序号）
1有最小值丄，无最大值；
2有最大值—，无最小值；
3有最小值1，最大值2;
4无最大值，也无最小值.
3.已知函数y=x2—2x+3在区间［0,m］上有最大值3，最小值2,则m的取值范围是.
答案与解析
1•【答案】
（—3—3］
【解析】由二次函数的性质，可知4W—（a—1）,
解得aw—3.
2•【答案】①
【解析】ty=x，、、2x-1在定义域［-,；
）上是增函数，
111
y_f（），即函数最小值为，无最大值.
3•【答案】［1,2］
【解析】由y=x2—2x+3=（x—1）2+2知，
当x=1时，y的最小值为2,
当y=3时，x2—2x+3=3,解得x=0或x=2.
由y=x2—2x+3的图象知，当m€［1,2］时，能保证y的最大值为3，最小值为2.
1.巩固y卜丄x2十1的值域是.
2.函数y=—x2+6x+9在区间［a,b］（a<
b<
3）有最大值9，最小值一7,贝Va=,b
3•若y=——,x^［-4,_1］，则函数y的最大值为.
x
1.【答案】
（0,2］
【解析】观察可知y>
0，当|x|取最小值时，y有最大值，所以当x=0时，y的最大值为2，即O<
yw2,故函数y的值域为（0,2］.
2.【答案】—20
【解析】y=—（x—3）2+18,•/a<
3,
•函数y在区间［a,b］上单调递增，即—b2+6b+9=9,得b=0（b=6不合题意，舍去）
—a+6a+9=—7,得a=—2（a=8不合题意，舍去）.
3.【答案】2
【解析】函数y在［-4,-1］上是单调递增函数，
故『max訂2.
拔高.2
1.已知函数f（x）=x2—2x+2.
（1）求f（x）在区间上的最大值和最小值；
12
⑵若g（x）=f（x）—mx在［2,4］上是单调函数，求m的取值范围.
2.若二次函数满足f（x+1）—f（x）=2x且f（0）=1.
⑴求f（x）的解析式；
⑵若在区间［—1,1］上不等式f（x）>
2x+m恒成立，求实数m的取值范围.答案与解析
1.【答案】同解析
【解析】
（1）Tf（x）=x2—2x+2=（x—1）2+1，x［-,3］，
•••f（x）的最小值是f
（1）=1,
又f
（2）弓f（3）=5,
所以，f（x）的最大值是f（3）=5,
即f（x）在区间［丄,3］上的最大值是5，最小值是1.
（2）■/g（x）=f（x）—mx=x—（m+2）x+2,
•m―2_2或m_亠4，即mW2或m>
6.
故m的取值范围是（一a,2］U［6,+s）.
2.【答案】同解析
•c=1,
（1）设f（x）=ax2+bx+c（a丰0），由f（0）=1,
•f（x）=ax2+bx+1.
•/f（x+1）—f（x）=2x,
•2ax+a+b=2x,
2a=2a=1ab=0b--1
•f（x）=x2—x+1.
⑵由题意：
x2—x+1>
2x+m在［—1,1］上恒成立,
即x2—3x+1—m>
0在［—1,1］上恒成立.
2325
令g（x）=x-3x1-m=（x）-m,
3其对称轴为x=—,
•g（x）在区间［—1,1］上是减函数，
•g（x）min=g
（1）=1—3+1—m>
0,
•m<
—1.
利用五调性求函数的最大（小）值：
（1）定义最大值：
设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：
对于任意的x€I，都
有：
X；
WM;
存在x°
€I，使得■1=M.那么，称M是函数y=妙的最大值（MaximumValue）.
仿照最大值定义，可以给岀最小值（MinimumValue）的定义
（2）配方法：
研究二次函数|「-的最大（小）值，先配方成
（3）单调法：
一些函数的单调性，比较容易观察岀来，或者可以先证明岀函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值
（4）图象法：
先作岀其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.
六、课后作业
基础
1如果函数f（x）=x2+bx+c对任意的实数x，都有f（1+x）=f（—
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