高一数学必修一知识点总结集合与函数概念Word文档下载推荐.docx

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b、描述法：

①区间法：

将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号表示集合。

{xR|x-3>

2},{x|x-3>

2}

②语言描述法：

例：

{不是直角三角形的三角形}

③Venn图:

画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

4、集合的分类：

（1）有限集：

含有有限个元素的集合

（2）无限集：

含有无限个元素的集合

（3）空集：

不含任何元素的集合　　

5、元素与集合的关系：

（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：

aA

（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：

a￠A

注意：

常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：

N

正整数集N*或N+

整数集Z

有理数集Q

实数集R

6、集合间的基本关系

（1）.“包含”关系

（1）—子集

定义：

如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。

7、集合的运算

二、函数的概念

函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：

A---B为从集合A到集合B的一个函数．记作：

y=f（x），x∈A．

（1）其中，x叫做自变量，x的取值围A叫做函数的定义域；

（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．

函数的三要素：

定义域、值域、对应法则

函数的表示方法：

（1）解析法：

明确函数的定义域

（2）图想像：

确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。

（3）列表法：

选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。

4、函数图象知识归纳

（1）定义：

在平面直角坐标系中，以函数y=f（x）,（x∈A）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（x，y）的集合C，叫做函数y=f（x）,（x∈A）的图象．C上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f（x），反过来，以满足y=f（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点（x，y），均在C上.

（2）画法

A、描点法：

B、图象变换法：

平移变换；

伸缩变换；

对称变换，即平移。

（3）函数图像平移变换的特点：

1）加左减右——————只对x

2）上减下加——————只对y

3）函数y=f（x）关于X轴对称得函数y=-f（x）

4）函数y=f（x）关于Y轴对称得函数y=f（-x）

5）函数y=f（x）关于原点对称得函数y=-f（-x）

6）函数y=f（x）将x轴下面图像翻到x轴上面去，x轴上面图像不动得

函数y=|f（x）|

7）函数y=f（x）先作x≥0的图像，然后作关于y轴对称的图像得函数f（|x|）

三、函数的基本性质

1、函数解析式子的求法

（1、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2、求函数的解析式的主要方法有：

1）代入法：

2）待定系数法：

3）换元法：

4）拼凑法：

2．定义域：

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

（1）分式的分母不等于零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零；

（3）对数式的真数必须大于零；

（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

（6）指数为零底不可以等于零，

（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

3、相同函数的判断方法：

①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；

②定义域一致（两点必须同时具备）

4、区间的概念：

（1）区间的分类：

开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示

5、值域（先考虑其定义域）

（1）观察法：

直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域；

（2）反表示法：

针对分式的类型，把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数关系式，由X的围类似求Y的围。

（3）配方法：

针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的围。

（4）代换法（换元法）：

作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。

6.分段函数

（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

（2）各部分的自变量的取值情况．

（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

（4）常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数

7．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

A---B为从集合A到集合B的一个映射。

记作“f（对应关系）：

A（原象）---B（象）”

对于映射f：

A→B来说，则应满足：

（1）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

（2）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

（3）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。

所以函数是映射，而映射不一定的函数

8、函数的单调性（局部性质）及最值

（1、增减函数

（1）设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I的某个区间D的任意两个自变量x1，x2，当x1<

x2时，都有f（x1）<

p="

"

>

<

/x2时，都有f（x1）<

（2）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<

函数的单调性是函数的局部性质；

函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种

（2、图象的特点

如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

（3、函数单调区间与单调性的判定方法

（A）定义法：

任取x1，x2∈D，且x1<

x2；

/x2；

作差f（x1）－f（x2）；

变形（通常是因式分解和配方）；

定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；

下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）．

（B）图象法（从图象上看升降）

（C）复合函数的单调性

复合函数：

如果y=f（u）（u∈M）,u=g（x）（x∈A）,则y=f[g（x）]=F（x）（x∈A）称为f、g的复合函数。

复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性密切相关，其规律：

“同增异减”

函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

9：

函数的奇偶性（整体性质）

（1、偶函数

一般地，对于函数f（x）的定义域的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数．

（2、奇函数

一般地，对于函数f（x）的定义域的任意一个x，都有f（－x）=—f（x），那么f（x）就叫做奇函数．

（3、具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；

奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

a、首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

若是不对称，则是非奇非偶的函数；

若对称，则进行下面判断；

b、确定f（－x）与f（x）的关系；

c、作出相应结论：

若f（－x）=f（x）或f（－x）－f（x）=0，则f（x）是偶函数；

若f（－x）=－f（x）或f（－x）＋f（x）=0，则f（x）是奇函数．

（4）利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性

a、在公共定义域，偶函数的加减乘除仍为偶函数；

奇函数的加减仍为奇函数；

奇数个奇函数的乘除认为奇函数；

偶数个奇函数的乘除为偶函数；

一奇一偶的乘积是奇函数；

a、复合函数的奇偶性：

一个为偶就为偶，两个为奇才为奇。

函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，

（1）再根据定义判定;

（2）由f（-x）±

f（x）=0或f（x）／f（-x）=±

1来判定;

（3）利用定理，或借助函数的图象判定.

10、函数最值及性质的应用

（1、函数的最值

a利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

b利用图象求函数的最大（小）值

c利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）；

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）；

（2、函数的奇偶性与单调性

奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；

偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。

（3、判断含糊单调性时也可以用作商法，过程与作差法类似，区别在于作差法是与0作比较，作商法是与1作比较。

（4）绝对值函数求最值，先分段，再通过各段的单调性，或图像求最值。

（5）在判断函数的奇偶性时候，若已知是奇函数可以直接用f（0）=0，但是f（0）=0并不一定可以判断函数为奇函数。

（高一阶段可以利用奇函数f（0）=0）。

基本初等函数

一、指数函数

（一）指数

指数与指数幂的运算：

复习初中整数指数幂的运算性质：

am*an=am+n

（am）n=amn

（a*b）n=anbn

分数指数幂

正数的分数指数幂的

二、对数函数

（一）对数

2、对数函数的性质：

三、幂函数

函数的应用

方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：

对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：

函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

即：

方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点．

3、函数零点的求法：

（1）（代数法）求方程的实数根；

（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

（1）△＞0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝0，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．