综合测评一 集合函数与导数Word格式.docx

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0，即x<

，故N＝（－∞，），

∴∁IN＝[，＋∞）．故M∩∁IN＝[，2]．

4．函数y＝3|x|－1的定义域为[－1,2]，则函数的值域为（　　）

A．[2,8]B．[0,8]

C．[1,8]D．[－1,8]

选B.x>

0时，函数y＝3|x|－1是增函数，∴函数在[0,2]上的值域是[0,8]；

x<

0时，函数y＝3|x|－1是减函数，∴函数在[－1,0]上的值域是[0,2]，∴函数在定义域[－1,2]上的值域是[0,8]∪[0,2]＝[0,8]，故选B.

5．设f（x）＝log2x的反函数为y＝f－1（x），若f－1（a）＝，则a等于（　　）

A.B．－

C．2D．－2

选D.由f－1（a）＝得f（）＝a，即a＝log2＝－2，故选D.

6．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x>

0时，f（x）＝2x，则f（－2）＝（　　）

A.B．－4

C．－D．4

选B.由条件得f（－2）＝－f

（2）＝－22＝－4.

7．设p：

－1或x>

1，q：

－2或x>

1，则綈p是綈q的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

选A.由条件q确定的集合是由条件p所确定集合的子集，∴q⇒p⇔綈p⇒綈q，所以綈p是綈q的充分条件，但非必要条件．

8．曲线y＝x3在点（1,1）处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为（　　）

A．2B.

C.D．3

选C.∵y′＝3x2，

∴曲线在（1,1）处的切线方程为y－1＝3（x－1），

令y＝0，得切线与x轴的交点坐标为（，0）．

切线与直线x＝2交于点（2,4）．

∴曲线y＝x3在点（1,1）处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形面积S＝×

（2－）×

4＝.故应选C.

9．函数f（x）＝的图象是（　　）

选C.由于f（－x）＝＝＝f（x），且f（x）的定义域为R，所以f（x）为偶函数，所以它的图象应关于y轴对称，故选C.

10.

已知函数f（x）＝（x－a）（x－b）（其中a>

b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝ax＋b的图象是（　　）

选A.由f（x）的图象，得0<

a<

1，b<

－1，

∴g（x）为减函数，且g（0）＝1＋b<

0.∴A项符合题意．

11．设函数f（x）＝x3，若0≤θ≤时，f（mcosθ）＋f（1－m）>

0恒成立，则实数m的取值范围为（　　）

A．（－∞，1）B．（－∞，）

C．（0,1）D．（－∞，0）

选A.由f（x）为奇函数且f（x）为增函数可得f（mcosθ）>

f（m－1），即mcosθ>

m－1对任意的θ∈[0，]恒成立，即m（1－cosθ）<

1恒成立．①当1－cosθ＝0，即θ＝0时，成立；

②当1－cosθ∈（0,1]，即θ∈（0，]时，m<

.又≥1，∴m<

1.故选A.

12．若函数f（x）在定义域R内可导，f（1＋x）＝f（1－x），且当x∈（－∞，1）时，（x－1）f′（x）>

0.设a＝f（0），b＝f（），c＝f（3），则（　　）

A．a<

b<

cB．c<

b

C．c<

aD．b<

c

选D.由f（1＋x）＝f（1－x）可得函数f（x）的对称轴为直线x＝1，故b＝f（）＝f（2－）＝f（），c＝f（3）＝f（1＋2）＝f（1－2）＝f（－1）．

又由x∈（－∞，1）时，（x－1）f′（x）>

0，可知f′（x）<

0，即f（x）在（－∞，1）上是减函数，于是f（－1）>

f（0）>

f（），即c>

a>

b.故选D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）

13．若全集U＝R，A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为________．

∵A＝{1,2,3,4,5，…，10}，

B＝{－3,2}，∴A∩B＝{2}．

即阴影部分表示的集合为{2}．

答案：

{2}

14．若lga＋lgb＝0（a≠1），则函数f（x）＝ax与g（x）＝－bx的图象关于________对称．

由lga＋lgb＝0⇒ab＝1⇒b＝，所以g（x）＝－a－x，故f（x）与g（x）关于原点对称．

原点

15．定义在R上的f（x）满足f（x）＝则f（2010）＝________.

f（－1）＝，f（0）＝，f

（1）＝，f

（2）＝－，f（3）＝－，f（4）＝－，f（5）＝，f（6）＝，….f（n）的最小正周期T＝6，故f（2010）＝f（6×

335）＝f（0）＝.

16．给出定义：

若m－<

x≤m＋（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}＝m.在此基础上给出下列关于函数f（x）＝|x－{x}|的四个命题：

①函数y＝f（x）的定义域为R，值域为[0，]；

②函数y＝f（x）的图象关于直线x＝（k∈Z）对称；

③函数y＝f（x）是周期函数，最小正周期为1；

④函数y＝f（x）在[－，]上是增函数．

其中正确的命题的序号是________．

①由定义知：

－<

x－{x}≤，

∴0≤|x－{x}|≤

∴f（x）的值域为[0，]，

∴①对，②对，③对，④错．

①②③

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）设集合A＝{x|x2＜4}，B＝{x|1＜}．

（1）求集合A∩B；

（2）若不等式2x2＋ax＋b＜0的解集为B，求a，b的值．

解：

（1）A＝{x|x2＜4}＝{x|－2＜x＜2}，

B＝{x|1＜}＝{x|＜0}

＝{x|－3＜x＜1}．

∴A∩B＝{x|－2＜x＜1}；

（2）因为2x2＋ax＋b＜0的解集为B＝{x|－3＜x＜1}，

所以－3和1为2x2＋ax＋b＝0的两根．

故，所以a＝4，b＝－6.

18．（本小题满分12分）已知函数f（x）的图象与函数h（x）＝x＋＋2的图象关于点A（0,1）对称．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若g（x）＝f（x）·

x＋ax，且g（x）在区间[0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．

（1）∵f（x）的图象与h（x）关于A（0,1）对称，设f（x）图象上任意一点为B（x，y），

其关于A（0,1）的对称点B′（x′，y′），

则，∴.

∵B′（x′，y′）在h（x）上，

∴y′＝x′＋＋2，

∴2－y＝－x－＋2，

∴y＝x＋，即f（x）＝x＋.

（2）g（x）＝x2＋ax＋1，

∵g（x）在[0,2]上为减函数，

∴－≥2，即a≤－4，

∴a的取值范围为（－∞，－4]．

19．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝kx3－3（k＋1）x2－2k2＋4，若f（x）的单调减区间为（0,4）．

（1）求k的值；

（2）对任意的t∈[－1,1]，关于x的方程2x2＋5x＋a＝f（t）总有实根，求实数a的取值范围．

（1）f′（x）＝3kx2－6（k＋1）x，

又∵f′（4）＝0，∴k＝1.

（2）由

（1）得f（x）＝x3－6x2＋2，∴f′（t）＝3t2－12t.

∵当－1<

t<

0时，f′（t）>

0；

当0<

1时，f′（t）<

0，且f（－1）＝－5，f

（1）＝－3，∴f（t）≥－5.

∵2x2＋5x＋a≥，

∴≤－5，解得a≤－.

20．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝log3（ax＋b）的部分图象如图所示：

（1）求f（x）的解析式与定义域；

（2）函数f（x）能否由y＝log3x的图象平移变换得到；

（3）求f（x）在[4,6]上的最大值、最小值．

（1）由图象中A、B两点坐标得，解得.故f（x）＝log3（2x－1），定义域为（，＋∞）．

（2）可以．由f（x）＝log3（2x－1）＝log3[2（x－）]

＝log3（x－）＋log32，

∴f（x）的图象是由y＝log3x的图象向右平移个单位，再向上平移log32个单位得到的．

（3）最大值为f（6）＝log311，最小值为f（4）＝log37.

21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x2－（2a＋1）x＋alnx.

（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调增区间；

（2）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值；

（3）设g（x）＝（1－a）x，若存在x0∈[，e]，使得f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．

（1）当a＝1时，f（x）＝x2－3x＋lnx，定义域为（0，＋∞），f′（x）＝2x－3＋＝＝.

令f′（x）＝0，得x＝1或x＝.

x

（0，）

（，1）

（1，＋∞）

f′（x）

＋

－

f（x）

所以函数f（x）的单调增区间为（0，），（1，＋∞）．

（2）f′（x）＝2x－（2a＋1）＋＝＝，令f′（x）＝0，得x＝a或x＝.

当a≤时，f（x）在（0，a]，[，＋∞）上单调增，

所以f（x）在区间[1，e]上单调增．

当＜a≤1时，f（x）在（0，]，[a，＋∞）上单调增，

综上，当a≤1时，f（x）min＝f

（1）＝－2a；

当1<

e时，

（1，a）

a

（a，e）

a（lna－a－1）

所以f（x）min＝f（a）＝a（lna－a－1）；

当a≥e时，f（x）在（0，]，[a，＋∞）上单调增，在（，a）上单调减，所以在[1，e]上单调减．

所以f（x）min＝f（e）＝e2－（2a＋1）e＋a.

（3）由题意，不等式f（x）≥g（x）在[，e]上有解，

即x2－2x＋a（lnx－x）≥0在[，e]上有解．

因为当x∈[，1]时，lnx≤0<

x；

当x∈（1，e]时，0<

lnx≤1<

x，

所以lnx－x<

0，

所以a≤在[，e]上有解．

设h（x）＝，

则h′（x）＝

＝，

因为x∈[，e]，所以x＋2>

2≥2lnx，

所以当x∈（，1）时，h′（x）＜0，此时h（x）是减函数；

当x∈（1，e）时，h′（x）>

0，此时h（x）是增函数．

因为h（）＝＜0，h（e）＝＞0，

所以当x∈[，e]时，h（x）max＝h（e）＝，

所以a≤.

所以实数a的取值范围为（－∞，]．

22．（本小题满分12分）设y＝f（x）为三次函数，且图象关于原点对称，当x＝时