112 平面的基本事实与推论Word文档格式.docx

112 平面的基本事实与推论Word文档格式.docx

《112 平面的基本事实与推论Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《112 平面的基本事实与推论Word文档格式.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论不正确的是（　　）

A.C1,M,O三点共线B.C1,M,O,C四点共面

C.C1,O,A,M四点共面D.D1,D,O,M四点共面

4.平面α∩平面β=l,点M∈α,N∈α,点P∈β,且P∉l,又MN∩l=R,过M,N,P三点所确定的平面记为γ,则β∩γ=　　　　　. 

5.如图所示,已知一条直线a分别与两条平行直线b,c相交.求证:

a,b,c三线共面.

题组二　点共线问题

6.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是　　　　　. 

7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:

D,A,Q三点共线.

题组三　线共点问题

8.在空间四边形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若GH,EF交于一点P,则（　　）

A.P一定在直线BD上B.P一定在直线AC上

C.P在直线AC或BD上D.P既不在直线BD上,也不在直线AC上

9.如图,已知平面α,β,且α∩β=l.若梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β.求证:

AB,CD,l共点（相交于一点）.

10.如图所示,E、F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1和AA1的中点,画出平面BED1F与平面ABCD的交线.

能力提升练

一、单项选择题

1.（★★☆）在空间中,两两相交的三条直线最多可以确定的平面的个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

2.（★★☆）若直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则（　　）

A.l⊂αB.l⊄αC.l∩α=MD.l∩α=N

3.（疑难1,★★☆）下列命题中,正确的是（　　）

A.经过正方体任意两条面对角线,有且只有一个平面

B.经过正方体任意两条体对角线,有且只有一个平面

C.经过正方体任意两条棱,有且只有一个平面

D.经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线,有且只有一个平面

4.（★★☆）在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱DD1和BB1上的点,MD=DD1,NB=BB1,那么正方体过点M,N,C1的截面图形是（　　）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

二、多项选择题

5.（★★★）设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,下列说法中正确的是（　　）

A.若P∈a,P∈α,则a⊂α

B.若a∩b=P,b⊂β,则a⊂β

C.若a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α,则b⊂α

D.若α∩β=b,P∈α,P∈β,则P∈b

三、填空题

6.（2018甘肃武威五中高一期末,★★☆）已知A,B,C表示不同的点,l表示直线,α,β表示不同的平面,则下列推理错误的是　　　　（填序号）. 

①A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α;

②A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=AB;

③A∈α,A∈β⇒α∩β=A.

7.（★★☆）设平面α与平面β相交于直线l,直线a⊂α,直线b⊂β,a∩b=M,则M　　　　l（用符号表示）. 

四、解答题

8.（★★☆）如图,直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>

CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线.

9.（2018安徽合肥一中高二月考,疑难1,★★☆）如图,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,E,F分别是BC,PC的中点,G在PD上,且PG=PD.证明:

A,E,F,G四点共面.

10.（疑难2,★★☆）如图所示,AB∩α=P,CD∩α=P,A,D与B,C分别在平面α的两侧,AC∩α=Q,BD∩α=R.求证:

P,Q,R三点共线.

11.（疑难3,★★☆）如图,△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内,如果三条直线AA1,BB1,CC1两两相交,求证:

三条直线AA1,BB1,CC1交于一点.

答案全解全析

1.B　①假设任意三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面,这与四点不共面矛盾,故不共面的四点中,任意三点不共线,所以①正确;

②不正确,如图,两个相交平面有三个公共点A,B,C,但A,B,C,D,E不共面;

③显然不正确;

④不正确,因为此时所得的四边形的四条边可能不在一个平面上,如空间四边形.故选B.

2.D　A中,若两条直线不是相交或平行直线,则不能确定一个平面;

B中,若点在直线上,则不能确定一个平面;

C中,若三个点在同一条直线上,则不能确定一个平面;

D中,梯形有两条边平行,因为两条平行直线能确定一个平面.故选D.

3.D　连接A1C1,AC,则AC∩BD=O,因为AC⊂平面ACC1A1,BD⊂平面C1BD,所以O∈平面ACC1A1,O∈平面C1BD.因为A1C∩平面C1BD=M,A1C⊂平面ACC1A1,所以M∈平面ACC1A1,M∈平面C1BD.又易知C1∈平面ACC1A1,C1∈平面C1BD,所以C1,M,O三点在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,所以选项A中结论正确,则由推论1可知B,C中结论均正确,易知D中结论不正确.

4.答案　直线PR

解析　如图,MN⊂γ,R∈MN,

∴R∈γ.

又R∈l,l⊂β,∴R∈β.

又P∈γ,P∈β,∴β∩γ=直线PR.

5.证明　因为b∥c,所以b,c确定一个平面,设为α,如图所示.

令a∩b=A,a∩c=B,所以A∈α,B∈α,

所以AB⊂α,即直线a⊂α.

所以a,b,c三线共面.

6.答案　P∈直线DE

解析　因为P∈AB,AB⊂平面ABC,

所以P∈平面ABC.

又P∈α,平面ABC∩平面α=DE,所以P∈直线DE.

7.证明　∵MN∩EF=Q,

∴Q∈直线MN,Q∈直线EF,

又∵M∈直线CD,N∈直线AB,CD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD,

∴M,N∈平面ABCD,∴MN⊂平面ABCD.

∴Q∈平面ABCD.

同理,可得EF⊂平面ADD1A1,

∴Q∈平面ADD1A1.

又∵平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,

∴Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线.

8.B　由题意知GH⊂平面ADC.因为GH,EF交于一点P,所以P∈平面ADC.同理,P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC=AC,所以由基本事实3可知点P一定在直线AC上.故选B.

9.证明　因为梯形ABCD中,AD∥BC,

所以AB,CD是梯形ABCD的两腰.

所以AB,CD必相交于一点.

设AB∩CD=M.又因为AB⊂α,CD⊂β,

所以M∈α,M∈β.

所以M∈α∩β.又因为α∩β=l,

所以M∈l,即AB,CD,l共点（相交于一点）.

10.解析　如图,在平面AA1D1D内,D1F与DA不平行,分别延长D1F与DA,则D1F与DA必相交,设交点为M.连接MB.

因为M∈FD1,M∈DA,FD1⊂平面BED1F,DA⊂平面ABCD,所以M在平面BED1F与平面ABCD的交线上,又B在平面BED1F与平面ABCD的交线上,所以平面BED1F∩平面ABCD=MB.

故直线MB为两平面的交线.

1.C　在空间中,两两相交的三条直线最多可以确定3个平面.如图,PA,PB,PC相交于一点P,且PA,PB,PC不共面,则PA,PB确定一个平面PAB,PB,PC确定一个平面PBC,PA,PC确定一个平面PAC.故选C.

2.A　∵M∈a,a⊂α,∴M∈α.同理,N∈α.

又M∈l,N∈l,∴l⊂α.故选A.

3.B　因为正方体的四条体对角线相交于一点（正方体的中心）,所以经过正方体任意两条体对角线,有且只有一个平面.故选B.

4.C　如图,延长C1M交CD的延长线于点P,延长C1N交CB的延长线于点Q,连接PQ,交AD于点E,交AB于点F,连接NF,ME,则正方体过点M,N,C1的截面图形是五边形.故选C.

5.CD　当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,故A错;

当a∩β=P时,a⊄β,故B错;

∵a∥b,P∈b,∴P∉a,∴由直线a与点P确定唯一平面α,又a∥b,∴a与b确定唯一平面β,∵β经过直线a与点P,∴β与α重合,∴b⊂α,故C正确;

两个平面的公共点必在其交线上,故D正确.故选CD.

6.答案　③

解析　①为判断线在面内的依据,故①中推理正确;

②为判断两个平面相交的依据,故②中推理正确;

③中A∈α,A∈β,则A∈α∩β,即α∩β为经过点A的一条直线而不是点A,故③中推理错误.

7.答案　∈

解析　因为a∩b=M,a⊂α,b⊂β,所以M∈α,M∈β.又因为α∩β=l,所以M∈l.

8.解析　易知,点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在交线上.由于AB>

CD,分别延长AC和BD交于点E,如图所示.

∵E∈AC,AC⊂平面SAC,

∴E∈平面SAC.

同理,可证E∈平面SBD.

∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上,连接SE,则直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.

9.证明　如图,在平面ABCD内,连接AE并延长,交DC的延长线于点M,则有CM=CD.

在平面PCD内,连接GF并延长,交DC的延长线于点M1.

取GD的中点N,连接CN,

则由PG=PD可知PG=GN=ND.

∵点F为PC的中点,

∴在△PCN中,有FG∥CN,即GM1∥CN,

∴在△GM1D中,有CM1=CD,

∴CM1=CM,点M与点M1重合,即AE与GF相交于点M,

∴A,E,F,G四点共面.

10.证明　∵AB∩α=P,CD∩α=P,∴AB∩CD=P.∴AB,CD可确定一个平面,设为β.∵A∈AB,C∈CD,B∈AB,D∈CD,∴A∈β,C∈β,B∈β,D∈β.∴AC⊂β,BD⊂β.∵AC∩α=Q,∴Q∈α,Q∈β.

同理,P∈α且P∈β,R∈α且R∈β,

∴P,Q,R在α与β的交线上,故P,Q,R三点共线.

11.证明　设BB1与CC1,CC1与AA1,AA1与BB1分别确定平面α,β,γ,AA1∩BB1=P,

则P∈AA1,P∈BB1,AA1⊂平面β,BB1⊂平面α.

所以P∈平面β,P∈平面α,即P∈α∩β.

因为α∩β=CC1,所以P∈CC1.

所以直线AA1,BB1,CC1交于点P,

即三条直线AA1,BB1,CC1交于一点.