数值计算课后答案2Word格式.docx

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3.641

7

3.633

8

3.629

9

3.631

10

3.632

11

x*≈x11=3.632。

指出：

（1）注意精确度的不同表述。

精确到10-3和误差不超过10-3是不同的。

（2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。

如果计算过程中取4位小数，结果取3位，则如下表：

3.5000

3.7500

3.6250

3.6875

3.6563

3.6407

3.6329

3.6290

3.6310

3.6320

3.6315

（3）用九韶算法计算f（xn）比较简单。

1*．求方程x3-2x2-4x-7=0的隔根区间。

令，

则

当时，有。

函数单调区间列表分析如下：

x

（-∞,）

（2,+∞）

y／

+

y

－15

因为，所以方程在区间上无根；

因为，而函数在上单调增，函数值不可能变号，所以方程在该区间上无根；

因为，函数在（2,+∞）上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根，

而（3）=-10<

0,y（4）=9>

0，所以方程在区间（3,4）有一个根。

所以，该方程有一个根，隔根区间是（3.4）。

2．证明在[0,1]有一个根，使用二分法求误差不大于的根，需要迭代多少次？

证明方程在指定区间有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。

因为，

则，

由零点定理，函数f（x）在[0,1]区间有一个根。

由

有2n-1＞10000，又为210＝1024，213＝8192<

10000，214＝16384>

10000

所以n＝15，即需要二分15次。

要证明的是有一个解而不是唯一解，因此不必讨论单调性。

3．试用迭代公式，求方程的根，要求精确到。

精确到即误差不超过

令

列表进行迭代如下：

-7

1.53846

3.75964

1.29502

-1.52380

1.40182

0.70311

1.35421

-0.30667

1.37530

0.13721

1.36593

-0.06067

1.37009

0.02705

1.36824

-0.01198

1.36906

0.00531

1.36870

-0.00228

1.36886

0.00110

12

1.36879

-0.00038

13

1.36882

0.00025

14

1.36881

15

精确到可以从两个方面判定。

第一，计算过程中取小数到位，最后两个计算结果相同，终止计算。

第二，计算过程中取小数到，当终止计算。

本题采用第一种方法。

4．将一元非线性方程写成收敛的迭代公式，并求其在附近的根，要求精确到。

改写为，则

，设

有

在处，因为

所以迭代法在的邻域收敛。

列表迭代如下：

0．5

0．71

0．69

此时。

5．为求方程在附近的一个根，设将方程改为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：

试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有4位有效数字的近似值。

（1）因为，所以迭代函数为，则

，满足局部收敛性条件，所以迭代公式具有局部收敛性。

（2）因为,所以迭代函数为,则

满足局部收敛性条件,所以迭代公式具有收敛性。

（3）因为，所以迭代函数为，则

，

不满足收敛性条件，所以迭代公式

不具有收敛性。

用迭代公式列表计算如下：

1．5

1．444

1．480

1．457

1．471

1．462

1．468

1．464

1．467

1．465

1．466

所以，方程的近似根为。

6．设，应如何取C才能使迭代公式具有局部收敛性？

设C为常数，因为，所以，要使迭代公式具有局部收敛性，需，此时即有，也即

。

即只要C取满足如上条件的常数，就可以使得迭代公式具有局部收敛性。

本题的一般形式为：

设，应如何取C才能使迭代公式具有局部收敛性？

显然，是迭代格式相应的迭代函数，因此该迭代格式要求解的方程是。

也就是说，这是如何选择C，构造一个求解方程f（x）=0的收敛的迭代格式的问题。

因为，所以，

要使迭代格式收敛，需

解之得，

即C与异号，且。

下面的讨论利用了本题的特殊条件，求出了具体的结果：

因为，所以当时，有，则，即函数的不动点为。

而，

根据局部收敛性定理，

当时，迭代格式收敛到；

当时，迭代格式收敛到。

7．用牛顿法求方程在初始值邻近的一个正根，要求。

解:

因为

所以有，相应的迭代公式为

取x0=2为迭代的初始近似值。

迭代的结果列表如下：

k

xk

1.8889

1.8795

1.8794

因为,符合计算的精度要求,所以

8．用牛顿法解方程，导出计算数c的倒数而不用除法的一种简单的迭代公式。

用此公式求0.324的倒数，设初始值，要求计算有5位有效数字。

对于方程，有，相应的迭代公式为

应用该迭代公式求0.324的倒数，列表计算如下

3．084

3．0864

所以。

如果将方程改写为等价的，则有，相应的迭代公式为

无法展开迭代。

9．设a为已知数，试用牛顿法导出求的迭代公式，并求极限

设a为正实数，n为自然数，由牛顿法，方程的解为

此即求的迭代公式。

由此，则

本题中，表面上是的问题，但实际上却是的问题，才是极限过程中实际的变量。

本质上。

本题实际上是求极限

由于讨论的是型不定式，且不定式的分母上有2次的“0”因子，因此两次应用罗必塔法则。

解二：

首先证明一个定理：

定理：

设，又设f（x）在的某个邻域具有连续的二阶导数，则牛顿迭代法具有局部收敛性，且有。

证明：

因为

所以

因为f（x）在邻域具有连续的二阶导数，所以在邻域连续，且

由局部收敛性定理，牛顿迭代法具有局部收敛性。

对求导，根据条件有

由收敛阶定理，若，则，牛顿迭代法二阶收敛，若，则，牛顿迭代法有更高的收敛阶。

因为牛顿迭代法有二阶收敛性，所以

显然

如果是方程f（x）=0的单根，则，且。

此时，则，

可见定理中的条件“”可以等价替换为“是方程f（x）=0的单根”

对本题来说，

，是方程的单根，

应用分组分解法进行因式分解，分子、分母约去“0”因子，就可以按连续函数的极限性质求解了。

10．用快速弦截求方程在初始值邻近的实根（取，要求精确到）。

xk

xk-xk-1

f（xk）

f（xk）-f（xk-1）

1．9

-0.1

0.159

-0.841

1．8811

-0.0189

0.0130

-0.146

1．8794

-0.0017

0.0001

-0.0129

本教程所说快速弦截法是通常所说的弦截法（割线法），而它所说弦截法是通常的单点弦截法。

11、分别用下列方法求方程在邻近的根，要求有三位有效数字。

（1）用牛顿法，取；

（2）用弦截法，取；

（3）用快速弦截法，取。

方程变形为，

则。

牛顿法、弦截法、快速弦截法公式分别为

（1）牛顿法

；

（2）弦截法

（3）快速弦截法

取3位有效数字，分别计算得

牛顿法

弦截法

快速弦截法

0．785

1．59

1．57

1．41

1．33

1．39

1．40

1．38

补充题

（一）

1、确定方程x5+x-10＝0的根的个数，找出隔根区间。

2、用二分法求方程f（x）=x3＋2x-5=0在［2，3］的根的近似值，要求误差不超过0.005。

3、用二分法求方程f（x）=x3－2x-5=0在［2，3］的根的近似值，要求误差不超过0.05。

4、用二分法求方程的非零实近似根，使误差不超过10－2。

5、分析方程的根的分布情况，并用二分法求正根的近似值，使误差不超过10－2。

6、估计用二分法求方程f（x）=x3＋4x2-10=0在［1，2］的根的近似值，为使误差不超过10－5时所需要的二分次数。

分析与解答

1、令,

显然,而且函数没有不可导点,

所以，函数在区间上是单调增的，

故方程最多有一个根。

所以方程在（0，2）区间有一个根，（0，2）即为方程的隔根区间。

2、因为f

（2）=7＞0，f（3）=28＞0，实际上本方程在指定围无根。

但如果不加判定，也可以计算出一个值来。

所以，用二分法求方程的根必须先行判定。

要特别注意的是，完整的二分法的过程是，第一步代入初值，第二步判断是否有解，第三步在有解的前提下求出解来。

不进行判断就形式地套用二分法的过程是不可以的，同样地，如果因为无解就放弃讨论也是不正确的。

3、因为f

（2）=－1＜0，f（3）=16＞0，所以方程在区间上有解。

，所以，2n＞20