1、3.64173.63383.62993.631103.63211x*x11=3.632。指出:(1)注意精确度的不同表述。精确到10-3和误差不超过10-3是不同的。(2)在计算过程中按规定精度保留小数,最后两次计算结果相同。如果计算过程中取4位小数,结果取3位,则如下表:3.50003.75003.62503.68753.65633.64073.63293.62903.63103.63203.6315(3)用九韶算法计算f(xn)比较简单。1*求方程x3-2x2-4x-7=0的隔根区间。令,则当时,有。函数单调区间列表分析如下:x(-,)(2,+)y+y15因为,所以方程在区间上无根;因为,
2、而函数在上单调增,函数值不可能变号,所以方程在该区间上无根;因为,函数在(2,+)上单调增,所以方程在该区间上最多有一个根,而(3)=-100,所以方程在区间(3,4)有一个根。所以,该方程有一个根,隔根区间是(3.4)。2证明在0,1有一个根,使用二分法求误差不大于的根,需要迭代多少次?证明方程在指定区间有一个根,就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。因为,则,由零点定理,函数f(x)在0,1区间有一个根。 由有2n-110000,又为2101024,213819210000所以n15,即需要二分15次。要证明的是有一个解而不是唯一解,因此不必讨论单调性。3试用迭代公式,求方程的根,要
3、求精确到。精确到即误差不超过令列表进行迭代如下:-71.538463.759641.29502-1.523801.401820.703111.35421-0.306671.375300.137211.36593-0.060671.370090.027051.36824-0.011981.369060.005311.36870-0.002281.368860.00110121.36879-0.00038131.368820.00025141.3688115精确到可以从两个方面判定。第一,计算过程中取小数到位,最后两个计算结果相同,终止计算。第二,计算过程中取小数到,当终止计算。本题采用第一种方法
4、。4将一元非线性方程写成收敛的迭代公式,并求其在附近的根,要求精确到。改写为,则,设有在处,因为所以迭代法在的邻域收敛。列表迭代如下:05071069此时。5为求方程在附近的一个根,设将方程改为下列等价形式,并建立相应的迭代公式:试分析每种迭代公式的收敛性,并取一种公式求出具有4位有效数字的近似值。(1)因为,所以迭代函数为,则,满足局部收敛性条件,所以迭代公式具有局部收敛性。(2)因为,所以迭代函数为,则,满足局部收敛性条件,所以迭代公式具有收敛性。(3)因为,所以迭代函数为,则,不满足收敛性条件,所以迭代公式不具有收敛性。用迭代公式列表计算如下:1514441480145714711462
5、14681464146714651466所以,方程的近似根为。6设,应如何取C才能使迭代公式具有局部收敛性?设C为常数,因为,所以,要使迭代公式具有局部收敛性,需,此时即有,也即。即只要C取满足如上条件的常数,就可以使得迭代公式具有局部收敛性。本题的一般形式为:设,应如何取C才能使迭代公式具有局部收敛性?显然,是迭代格式相应的迭代函数,因此该迭代格式要求解的方程是。也就是说,这是如何选择C,构造一个求解方程f(x)=0的收敛的迭代格式的问题。因为,所以,要使迭代格式收敛,需解之得,即C与异号,且。下面的讨论利用了本题的特殊条件,求出了具体的结果:因为,所以当时,有,则,即函数的不动点为。而,根
6、据局部收敛性定理,当时,迭代格式收敛到;当时,迭代格式收敛到。7用牛顿法求方程在初始值邻近的一个正根,要求。解: 因为所以有,相应的迭代公式为取x0=2为迭代的初始近似值。迭代的结果列表如下:kxk1.88891.87951.8794因为,符合计算的精度要求,所以8用牛顿法解方程,导出计算数c的倒数而不用除法的一种简单的迭代公式。用此公式求0.324的倒数,设初始值,要求计算有5位有效数字。对于方程,有,相应的迭代公式为应用该迭代公式求0.324的倒数,列表计算如下308430864所以。如果将方程改写为等价的,则有,相应的迭代公式为无法展开迭代。9设a为已知数,试用牛顿法导出求的迭代公式,并
7、求极限设a为正实数,n为自然数,由牛顿法,方程的解为 此即求的迭代公式。由此,则 本题中,表面上是的问题,但实际上却是的问题,才是极限过程中实际的变量。本质上。本题实际上是求极限由于讨论的是型不定式,且不定式的分母上有2次的“0”因子,因此两次应用罗必塔法则。解二:首先证明一个定理:定理:设,又设f(x)在的某个邻域具有连续的二阶导数,则牛顿迭代法具有局部收敛性,且有。证明:因为所以因为f(x)在邻域具有连续的二阶导数,所以在邻域连续,且由局部收敛性定理,牛顿迭代法具有局部收敛性。对求导,根据条件有 由收敛阶定理,若,则,牛顿迭代法二阶收敛,若,则,牛顿迭代法有更高的收敛阶。因为牛顿迭代法有二
8、阶收敛性,所以显然如果是方程f(x)=0的单根,则,且。此时,则,可见定理中的条件“”可以等价替换为“是方程f(x)=0的单根”对本题来说,是方程的单根,应用分组分解法进行因式分解,分子、分母约去“0”因子,就可以按连续函数的极限性质求解了。10用快速弦截求方程在初始值邻近的实根(取,要求精确到)。xk xk-xk-1f(xk)f(xk)- f(xk-1)19-0.10.159-0.84118811-0.01890.0130-0.14618794-0.00170.0001-0.0129本教程所说快速弦截法是通常所说的弦截法(割线法),而它所说弦截法是通常的单点弦截法。11、分别用下列方法求方程
9、在邻近的根,要求有三位有效数字。(1)用牛顿法,取;(2)用弦截法,取;(3)用快速弦截法,取。方程变形为,则。牛顿法、弦截法、快速弦截法公式分别为(1)牛顿法;(2)弦截法(3)快速弦截法取3位有效数字,分别计算得牛顿法弦截法快速弦截法0785159157141133139140138补充题(一)1、确定方程x5+x-100的根的个数,找出隔根区间。2、用二分法求方程f(x)=x32x-5=0在2,3的根的近似值,要求误差不超过0.005。3、用二分法求方程f(x)=x32x-5=0在2,3的根的近似值,要求误差不超过0.05。4、用二分法求方程的非零实近似根,使误差不超过102。5、分析方
10、程的根的分布情况,并用二分法求正根的近似值,使误差不超过102。6、估计用二分法求方程f(x)=x34x2-10=0在1,2的根的近似值,为使误差不超过105时所需要的二分次数。分析与解答1、令,显然,而且函数没有不可导点,所以,函数在区间上是单调增的,故方程最多有一个根。所以方程在(0,2)区间有一个根,(0,2)即为方程的隔根区间。2、因为f(2)=70,f(3)=280,实际上本方程在指定围无根。但如果不加判定,也可以计算出一个值来。所以,用二分法求方程的根必须先行判定。要特别注意的是,完整的二分法的过程是,第一步代入初值,第二步判断是否有解,第三步在有解的前提下求出解来。不进行判断就形式地套用二分法的过程是不可以的,同样地,如果因为无解就放弃讨论也是不正确的。3、因为f(2)=10,f(3)=160,所以方程在区间上有解。,所以,2n20
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