突破高考+数学总复习+选修部分41几何证明选讲 备考基础查清+热点命题悟通学生版Word格式文档下载.docx
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推论1:
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.
推论2:
经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰.
2.平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
推论:
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
3.相似三角形的判定与性质
(1)判定定理:
内容
判定定理1
两角对应相等的两个三角形相似
判定定理2
两边对应成比例,并且夹角相等的两个三角形相似
判定定理3
三边对应成比例的两个三角形相似
(2)性质定理:
性质定理1
相似三角形对应高、中线、角平分线和它们周长的比都等于相似比
性质定理2
相似三角形的面积比等于相似比的平方
结论
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方
射影定理
直角三角形中,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项;
斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项
1.在使用平行线截割定理时易出现对应线段、对应边对应顺序混乱,导致错误.
2.在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角对应失误.
[试一试]
1.如图,F为▱ABCD的边AD延长线上的一点,DF=AD,BF分别交DC,AC于G,E两点,EF=16,GF=12,则BE的长为________.
2.在△ABC中,点D在线段BC上,∠BAC=∠ADC,AC=8,BC=16,则CD=________.
1.判定两个三角形相似的常规思路
(1)先找两对对应角相等;
(2)若只能找到一对对应角相等,则判断相等的角的两夹边是否对应成比例;
(3)若找不到角相等,就判断三边是否对应成比例,否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”.
2.借助图形判断三角形相似的方法
(1)有平行线的可围绕平行线找相似;
(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章,再找其他相等的角或对应边成比例;
(3)有公共边的可将图形旋转,观察其特征,找出相等的角或成比例的对应边.
[练一练]
1.如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,DE∥BC且=2,那么△ADE与四边形DBCE的面积比是________.
2.如图,已知在△ABC中,CD⊥AB于D点,BC2=BD·
AB,则∠ACB=______.
考点一
平行线分线段成比例定理的应用
1.如图,在▱ABCD中,E是BC上一点,BE∶EC=2∶3,AE交BD于F,则BF∶FD=________.
2.(2013·
惠州调研)如图,在△ABC中,DE∥BC,DF∥AC,AE∶AC=3∶5,DE=6,则BF=________.
3.如图,在四边形ABCD中,EF∥BC,FG∥AD,则+=________.
[类题通法]
比例线段常用平行线产生,利用平行线转移比例是常用的证题技巧,当题中没有平行线条件而有必要转移比例时,也常添加辅助平行线,从而达到转移比例的目的.
考点二
相似三角形的判定及性质
[典例] (2013·
陕西高考)如图,弦AB与CD相交于⊙O内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P.已知PD=2DA=2,则PE=________.
1.判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理,特别要注意对应角和对应边.
2.相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等;
也可间接证明线段相等.
[针对训练]
(2013·
佛山质检)如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°
,且AB=6,AC=4,AD=12,则BE=________.
考点三
射影定理的应用
[典例] 如图所示,在△ABC中,∠CAB=90°
,AD⊥BC于D,BE是∠ABC的平分线,交AD于F,求证:
=.
1.在使用直角三角形射影定理时,要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”.
2.证题时,要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法.
[针对训练]
在Rt△ACB中,∠C=90°
,CD⊥AB于D,若BD∶AD=1∶9,则tan∠BCD=________.
第二节直线与圆的位置关系
1.圆周角定理
(1)圆周角定理
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
(2)圆心角定理
圆心角的度数等于它所对弧的度数.
同弧或等弧所对的圆周角相等;
同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
半圆(或直径)所对的圆周角是直角;
90°
的圆周角所对的弦是直径.
2.圆内接四边形的性质与判定定理
(1)性质
定理1:
圆内接四边形的对角互补.
定理2:
圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.
(2)判定
判定定理:
如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.
如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.
3.圆的切线性质及判定定理
(1)性质:
性质定理:
圆的切线垂直于经过切点的半径.
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
(2)判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(3)弦切角定理:
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
4.与圆有关的比例线段
(1)相交弦定理:
圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.
(2)割线定理:
从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
(3)切割线定理:
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
(4)切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
1.易混圆心角与圆周角,在使用时注意结合图形作出判断.
2.在使用相交弦定理、割线定理、切割线定理时易出现比例线段对应不成比例而失误.
1.如图,P是圆O外一点,过P引圆O的两条割线PB、PD,PA=AB=,CD=3,则PC=________.
2.如图,EB,EC是⊙O的两条切线,B,C是切点,A,D是⊙O上两点,如果∠E=46°
,∠DCF=32°
,则∠BAD=________.
1.与圆有关的辅助线的五种作法
(1)有弦,作弦心距.
(2)有直径,作直径所对的圆周角.
(3)有切点,作过切点的半径.
(4)两圆相交,作公共弦.
(5)两圆相切,作公切线.
2.证明四点共圆的常用方法
(1)利用圆内接四边形的判定定理,证明四点组成的四边形的对角互补;
(2)证明它的一个外角等于它的内对角;
(3)证明四点到同一点的距离相等.
当证明四点共圆以后,圆的各种性质都可以得到应用.
3.圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时,要注意
找相等的角,找相似三角形,从而得出线段的比,由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算,所以应注意代数法在解题中的应用.
[练一练]
1.(2013·
荆州模拟)如图,PA是⊙O的切线,切点为A,过PA的中点M作割线交⊙O于点B和C,若∠BMP=110°
,∠BPC=30°
,则∠MPB=________.
2.(2013·
长沙一模)如图,过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于点A,点B,且PB=7,C是圆上一点,使得BC=5,∠BAC=∠APB,则AB=________.
圆周角、弦切角和圆的切线问题
1.(2013·
天津高考)如图,△ABC为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF的长为________.
广东高考)如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上.延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,则BC=________.
3.(2014·
岳阳模拟)如图所示,⊙O的两条切线PA和PB相交于点P,与⊙O相切于A,B两点,C是⊙O上的一点,若∠P=70°
,则∠ACB=________.
1.圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系,从而证明三角形全等或相似,可求线段或角的大小.
2.涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化;
关于圆周上的点,常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角.
圆内接四边形的性质及判定
[典例] (2013·
郑州模拟)如图,AB是⊙O的直径,G是AB延长线上的一点,GCD是⊙O的割线,过点G作AG的垂线,交直线AC于点E,交直线AD于点F,过点G作⊙O的切线,切点为H.
(1)求证:
C,D,E,F四点共圆;
(2)若GH=6,GE=4,求EF的长.
证明多点共圆,当它们在一条线段同侧时,可证它们对此线段张角相等,也可以证明它们与某一定点距离相等;
如两点在一条线段异侧,则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补.
如图所示,在四边形ABCP中,线段AP与BC的延长线交于点D,已知AB=AC且A,B,C,P四点共圆.
与圆有关的比例线段
辽宁模拟)如图,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,△ACD的外接圆交BC于点E,AB=2AC.
BE=2AD;
(2)当AC=1,EC=2时,求AD的长.
1.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容:
如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等.
2.相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明.解决问题时要注意相似三角形知识与圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用.
(2014·
郑州模拟)如图,已知⊙O和⊙M相交于A,B两点,AD为⊙M的直径,直线BD交⊙O于点C,点G为弧BD的中点,连接AG分别交⊙O,BD于点E,F,连接CE.
求证:
(1)AG·
EF=CE·
GD;
(2)=.