八年级数学下册第1章11直角三角形的性质与判定Ⅰ第2课时含30锐角的直角三角形的性质及练习新湘教Word格式文档下载.docx

八年级数学下册第1章11直角三角形的性质与判定Ⅰ第2课时含30锐角的直角三角形的性质及练习新湘教Word格式文档下载.docx

《八年级数学下册第1章11直角三角形的性质与判定Ⅰ第2课时含30锐角的直角三角形的性质及练习新湘教Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级数学下册第1章11直角三角形的性质与判定Ⅰ第2课时含30锐角的直角三角形的性质及练习新湘教Word格式文档下载.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

A．2B．2C．3D．3

5．如图－2－4，AB⊥BC于点B，AD∥BC，BE⊥CD于点E，CE＝BC，E为CD的中点，那么∠ADB的度数为（　　）

图－2－4

A．75°

B．60°

C．45°

D．无法确定

6．2018·

郴州如图－2－5，∠AOB＝60°

，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB分别于点C，D；

分别以点C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；

以O为端点作射线OP，在射线OP中截取OM＝6，则点M到OB的距离为（　　）

图－2－5

A．6B．2C．3D．3

7．如图－2－6，已知∠1＝∠2，AD＝BD＝4，CE⊥AD于点E，2CE＝AC，那么CD的长是（　　）

图－2－6

A．2B．3C．1D．1.5

二、填空题

8．若直角三角形的两个锐角的度数比是2∶1，斜边长为8，则这个直角三角形最短的边长为________．

9．如图－2－7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，CD⊥AB，垂足为D.若BC＝AB，则∠DCB＝________°

.

图－2－7

10．如图－2－8，在△ABC中，∠C＝90°

，AD平分∠CAB，交BC于点D.若CD＝1，则BD＝________．

图－2－8

11．如图－2－9，在△ABC中，∠C＝90°

，DE垂直平分AB于点E，交AC于点D，AD＝2BC，则∠A＝________°

图－2－9

12．如图－2－10，已知∠AOB＝60°

，点P在OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝________．

图－2－10

三、解答题

13．如图－2－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，∠A＝30°

，E是边BC的中点，BF∥AC，EF∥AB，EF＝4cm.求：

（1）∠F的度数；

（2）AB的长.

图－2－11

14．如图－2－12，△ABC是等边三角形，D为BC边的中点，DE⊥AC于点E.试探索线段CE与线段AC之间的数量关系，并说明理由．

图－2－12

15．如图－2－13，在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且CD＝AE，AD与BE相交于点P.

（1）求证：

∠ABE＝∠CAD；

（2）若BH⊥AD于点H，求证：

PB＝2PH.

图－2－13

16．如图－2－14，∠AOP＝∠BOP＝15°

，PC∥OA，PD⊥OA于点D.若PC＝4，求PD的长．

图－2－14

1．分类讨论思想在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD是高，且∠ABD＝30°

，求CD的长

2．图形全等与变换如图－2－15，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°

，D是AB上一点，∠ACD＝15°

，点B，E关于CD对称，连接BE交CD于点H，交AC于点G，连接DE交AC于点F.

（1）求∠ADF的度数；

（2）求证：

AF＝CG.

图－2－15

详解详析

课堂达标

1．[解析]B　由“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°

，那么它所对的直角边等于斜边的一半”可知大树折断部分的高度是10米，则大树在折断前的高度是5＋10＝15（米）．

2．[解析]D　由“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°

，那么它所对的直角边等于斜边的一半”可知，AC＝AB＝AD＝BD.根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CD＝AB，所以AC＝AD＝BD＝CD.故选D.

3．[解析]C　∵∠ACB＝90°

，AB＝4，∴CB＝AB＝2，∠B＝60°

.∵CD是AB边上高，∴∠BDC＝90°

，

∴∠BCD＝30°

∴BD＝BC＝1.

4．[解析]B　设三个内角的度数分别为°

，

（2）°

，（3）°

，则＋2＋3＝180，解得＝30，∴三个内角分别为30°

，60°

，90°

，∴这个三角形是直角三角形，30°

角所对的直角边为最短边，斜边为最长边．∵最短边长为，∴它的最长边为2.

5．[解析]B　由BE⊥CD，CE＝BC，根据“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°

”得∠EBC＝30°

.又由BE垂直平分CD得△BCD为等腰三角形，所以∠DBE＝∠EBC＝30°

，根据“两直线平行，内错角相等”得到∠ADB＝∠DBC＝60°

.故选B.

6．[解析]C　由作图知，OP是∠AOB的平分线，点M到OB的距离即为垂线段的长，根据直角三角形中30°

角所对的直角边等于斜边的一半，可得点M到OB的距离是3.

7．[解析]A　在Rt△AEC中，由＝，可以得到∠1＝∠2＝30°

.又∵AD＝BD＝4，得到∠B＝∠2＝30°

，从而求出∠ACD＝90°

，然后由直角三角形的性质求出CD的长．

8．4

9．[答案]30

[解析]∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，BC＝AB，∴∠A＝30°

，∴∠B＝60°

.∵CD⊥AB，垂足为D，∴∠CDB＝90°

，∴∠DCB＝30°

10．[答案]2

[解析]∵在△ABC中，∠C＝90°

，∴∠CAB＝60°

.∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD＝∠CAB＝30°

，∴∠BAD＝∠B，∴AD＝BD.∵CD＝1，∴AD＝2CD＝2，

∴BD＝AD＝2.

11．[答案]15

[解析]连接BD.∵DE垂直平分AB于点E，∴AD＝BD＝2BC，∴在Rt△BCD中，∠BDC＝30°

.又∵BD＝AD，∴∠A＝∠DBA＝∠BDC＝15°

12．[答案]3

[解析]如图，过点P作PC⊥MN于点C.∵PM＝PN，∴C为MN的中点，即MC＝NC＝MN＝1.∵在Rt△OPC中，∠AOB＝60°

，∴∠OPC＝30°

∴OC＝OP＝4，则OM＝OC－MC＝4－1＝3.

13．解：

（1）∵∠C＝90°

∴∠ABC＝60°

∵EF∥AB，

∴∠BEF＝∠ABC＝60°

∵BF∥AC，

∴∠EBF＝∠C＝90°

∴∠F＝30°

（2）∵∠EBF＝90°

，∠F＝30°

，EF＝4cm，

∴BE＝EF＝2cm.

∵E是边BC的中点，∴BC＝4cm.

∵∠C＝90°

∴AB＝2BC＝8cm.

14．解：

CE＝AC.理由：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠C＝60°

，BC＝AC.

∵D是△ABC中BC边的中点，

∴BD＝CD.

又∵∠C＝60°

，DE⊥AC，

∴∠CDE＝30°

∴CE＝CD＝BC＝AC.

即CE＝AC.

15．证明：

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴BA＝AC，∠CAB＝∠C＝60°

又∵AE＝CD，

∴△ABE≌△CAD，

∴∠ABE＝∠CAD.

（2）∵∠BPH＝∠BAD＋∠ABP＝∠BAD＋∠CAD＝60°

，BH⊥AD于点H，

∴∠EBH＝30°

∴在Rt△PBH中，PB＝2PH.

16．解：

过点P作PQ⊥OB于点Q，则∠PQO＝∠PDO＝90°

∵∠DOP＝∠QOP＝15°

，∠PDO＝∠PQO＝90°

，OP＝OP，∴△OPD≌△OPQ，

∴PD＝PQ.∵PC∥OA，

∴∠QCP＝∠BOD＝∠AOP＋∠BOP＝30°

∴PQ＝PC＝2.故PD＝2.

素养提升

1．解：

分两种情况讨论．

（1）如图①，当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，∠ABD＝30°

，则AD＝AB＝5cm，∴CD＝AC－AD＝5cm.

（2）如图②，当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，∵∠ABD＝30°

，∴AD＝AB＝5cm，∴CD＝AC＋AD＝15cm.

2．解：

（1）∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°

∴∠CAD＝∠CBA＝45°

∵∠ACD＝15°

∴∠CDB＝∠ACD＋∠CAD＝60°

∵点B，E关于CD对称，

∴∠EDC＝∠CDB＝60°

∴∠ADF＝180°

－60°

＝60°

（2）证明：

如图，过点A作AM⊥AC交ED的延长线于点M，则∠FAM＝90°

＝∠GCB，∠MAD＝90°

－45°

＝45°

＝∠CAD.

∵∠MAD＝45°

，∠ADF＝60°

∴∠M＝60°

＝15°

＝∠ACD.

∴CD⊥BE，∴∠CHG＝90°

∴∠CGB＋∠ACD＝90°

∵∠GCB＝90°

∴∠CGB＋∠CBG＝90°

∴∠CBG＝∠ACD＝15°

＝∠M.

在△ACD和△AMD中，

∵∠CAD＝∠MAD，∠ACD＝∠M，AD＝AD，

∴△ACD≌△AMD，∴AC＝AM.

又∵AC＝BC，

∴AM＝BC.

在△FAM和△GCB中，

∵∠M＝∠CBG，AM＝CB，∠FAM＝∠GCB，

∴△FAM≌△GCB，

∴AF＝CG.